题目

4.求极限：lim_(ntoinfty)(1+(1)/(3)+(1)/(3^2)+...+(1)/(3^n)).（3分）

4.求极限：$\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^{2}}+\cdots+\frac{1}{3^{n}}\right).$（3分）

题目解答

答案

该极限表达式为等比数列的前 $n+1$ 项和，首项 $a=1$，公比 $q=\frac{1}{3}$。
利用等比数列求和公式：
$S_{n+1} = \frac{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^{n+1}}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{3}{2} \left(1 - \frac{1}{3^{n+1}}\right)$
当 $n \to \infty$ 时，$\frac{1}{3^{n+1}} \to 0$，故：
$\lim_{n \to \infty} S_{n+1} = \frac{3}{2}$
或者，直接应用无穷等比数列和公式（$|q|<1$）：
$S = \frac{a}{1 - q} = \frac{1}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{3}{2}$

答案： $\boxed{\frac{3}{2}}$

解析

本题考查等比数列的求和公式以及极限的计算。解题思路是先判断所给式子为等比数列的前$n + 1$项和，然后利用等比数列求和公式求出前$n + 1$项和的表达式，最后求该表达式在$n\to\infty$时的极限；也可以直接利用无穷等比数列求和公式（公比绝对值小于$1$）来求解。

  1. 判断数列类型并确定首项和公比：
    • 观察式子$1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^{2}}+\cdots+\frac{1}{3^{n}}$，可知这是一个首项$a = 1$，公比$q=\frac{1}{3}$的等比数列的前$n + 1$项和。
  2. 利用等比数列求和公式计算前$n + 1$项和$S_{n + 1}$：
    • 等比数列求和公式为$S_{n}=\frac{a(1 - q^{n})}{1 - q}$（$q\neq1$），对于本题的前$n + 1$项和$S_{n + 1}$，将$a = 1$，$q=\frac{1}{3}$代入公式可得：
      • $S_{n + 1}=\frac{1\times\left[1-\left(\frac{1}{3}\right)^{n + 1}\right]}{1-\frac{1}{3}}$。
      • 先计算分母$1-\frac{1}{3}=\frac{3 - 1}{3}=\frac{2}{3}$，则$S_{n + 1}=\frac{1-\left(\frac{1}{3}\right)^{n + 1}}{\frac{2}{3}}$。
      • 根据除法运算法则，除以一个数等于乘以它的倒数，所以$S_{n + 1}=\frac{3}{2}\left(1-\frac{1}{3^{n + 1}}\right)$。
  3. 求$\lim_{n\to\infty}S_{n + 1}$：
    • 当$n\to\infty$时，指数函数$y = 3^{n+1}\to\infty$，那么$\frac{1}{3^{n + 1}}\to0$。
    • 所以$\lim_{n\to\infty}S_{n + 1}=\lim_{n\to\infty}\frac{3}{2}\left(1-\frac{1}{3^{n + 1}}\right)$。
    • 根据极限的运算法则$\lim_{n\to\infty}(c\cdot f(n))=c\cdot\lim_{n\to\infty}f(n)$（$c$为常数），可得$\lim_{n\to\infty}S_{n + 1}=\frac{3}{2}\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{3^{n + 1}}\right)$。
    • 再根据极限的运算法则$\lim_{n\to\infty}(f(n)-g(n))=\lim_{n\to\infty}f(n)-\lim_{n\to\infty}g(n)$，则$\frac{3}{2}\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{3^{n + 1}}\right)=\frac{3}{2}\left(\lim_{n\to\infty}1-\lim_{n\to\infty}\frac{1}{3^{n + 1}}\right)$。
    • 因为$\lim_{n\to\infty}1 = 1$，$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{3^{n + 1}} = 0$，所以$\frac{3}{2}\left(\lim_{n\to\infty}1-\lim_{n\to\infty}\frac{1}{3^{n + 1}}\right)=\frac{3}{2}(1 - 0)=\frac{3}{2}$。
  4. 利用无穷等比数列求和公式求解（另一种方法）：
    • 对于无穷等比数列，当$\vert q\vert\lt1$时，其和公式为$S=\frac{a}{1 - q}$。
    • 已知$a = 1$，$q=\frac{1}{3}$，$\vert\frac{1}{3}\vert=\frac{1}{3}\lt1$，将其代入公式可得$S=\frac{1}{1-\frac{1}{3}}$。
    • 计算分母$1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$，则$S=\frac{1}{\frac{2}{3}}=\frac{3}{2}$。