2009年12、设函数f(x)=}x(1+2x^2)^(1)/(x^(2)),xneq0,0,x=0,用导数定义计算f'(0)

考查要点：本题主要考查导数的定义以及极限的计算，特别是涉及指数函数的极限形式。

解题核心思路：

1. 导数定义：直接应用导数的定义式，将$f'(0)$转化为对应的极限表达式。
2. 化简极限：通过约分简化表达式，将问题转化为计算形如$(1 + \frac{a}{u})^u$的极限。
3. 变量替换与极限公式：利用变量替换将极限转化为标准形式$\lim_{u \to +\infty} \left(1 + \frac{a}{u}\right)^u = e^a$，从而快速求解。

破题关键点：

• 正确代入导数定义，注意$f(0)=0$的简化作用。
• 识别指数函数的极限形式，通过变量替换或泰勒展开将问题转化为已知的极限结果。

根据导数的定义，$f'(0)$的表达式为：
$f'(0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(\Delta x) - f(0)}{\Delta x}$

步骤1：代入函数表达式
由题意，当$\Delta x \neq 0$时，$f(\Delta x) = \Delta x \cdot (1 + 2\Delta x^2)^{\frac{1}{\Delta x^2}}$，且$f(0) = 0$，因此：
$f'(0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta x \cdot (1 + 2\Delta x^2)^{\frac{1}{\Delta x^2}} - 0}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} (1 + 2\Delta x^2)^{\frac{1}{\Delta x^2}}$

步骤2：变量替换
令$u = \frac{1}{\Delta x^2}$，则当$\Delta x \to 0$时，$u \to +\infty$，且$\Delta x^2 = \frac{1}{u}$。代入原极限得：
$\lim_{u \to +\infty} \left(1 + \frac{2}{u}\right)^u$

步骤3：应用极限公式
根据极限公式$\lim_{u \to +\infty} \left(1 + \frac{a}{u}\right)^u = e^a$，此处$a = 2$，因此：
$\lim_{u \to +\infty} \left(1 + \frac{2}{u}\right)^u = e^2$

结论：
$f'(0) = e^2$