题目

若随机变量Xsim N(2,4)且Y=2X+1，则Ysim N(_,_).

若随机变量X$\sim N(2,4)$且Y=2X+1，则Y$\sim N(\_,\_)$.

题目解答

答案

已知 $X \sim N(2, 4)$，即均值 $\mu = 2$，方差 $\sigma^2 = 4$。 对于线性变换 $Y = 2X + 1$，利用期望和方差的性质： - 均值：$E(Y) = 2E(X) + 1 = 2 \times 2 + 1 = 5$ - 方差：$D(Y) = 2^2D(X) = 4 \times 4 = 16$ 因此，$Y \sim N(5, 16)$。 \[ \boxed{N(5, 16)} \]

解析

本题考查正态分布的性质以及期望和方差的性质。解题思路是先明确已知随机变量$X$服从正态分布$N(2,4)$，从而得到$X$的均值$\mu$和方差$\sigma^{2}$，再根据$Y = 2X + 1$这一线性变换关系，利用期望和方差的性质分别计算出$Y$的均值和方差，最后确定$Y$服从的正态分布。

  1. 确定$X$的均值和方差：
    已知随机变量$X\sim N(2,4)$，根据正态分布$N(\mu,\sigma^{2})$的定义，其中$\mu$为均值，$\sigma^{2}$为方差，可得$E(X)=\mu = 2$，$D(X)=\sigma^{2}=4$。
  2. 计算$Y$的均值$E(Y)$：
    根据期望的性质：若$Y = aX + b$（$a$、$b$为常数），则$E(Y)=aE(X)+b$。
    在$Y = 2X + 1$中，$a = 2$，$b = 1$，将$E(X)=2$代入可得：
    $E(Y)=2E(X)+1=2\times2 + 1=5$
  3. 计算$Y$的方差$D(Y)$：
    根据方差的性质：若$Y = aX + b$（$a$、$b$为常数），则$D(Y)=a^{2}D(X)$。
    在$Y = 2X + 1$中，$a = 2$，将$D(X)=4$代入可得：
    $D(Y)=2^{2}D(X)=4\times4 = 16$
  4. 确定$Y$服从的正态分布：
    因为$Y$是$X$的线性变换，且$X$服从正态分布，所以$Y$也服从正态分布，又因为$E(Y)=5$，$D(Y)=16$，所以$Y\sim N(5,16)$。