当 x=1,-1,2 时 f(x)=0,-3,4，求 f(x) 的二次插值多项式。(1) 用单项式基函数；(2) 用拉格朗日插值基函数；(3) 用牛顿基函数。证明三种方法得到的多项式是相同的。

本题主要考察二次插值多项式的三种不同基函数表示方法，包括单项式基函数、拉格朗日插值基函数和牛顿基函数，并证明三种方法得到的多项式是相同的。

(1) 用单项式基函数

设二次插值多项式为 $P(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2$。
已知当 $x = 1$ 时，$f(1) = 0$，代入 $P(x)$ 可得：
$a_0 + a_1\times1 + a_2\times1^2 = 0$，即 $a_0 + a_1 + a_2 = 0$ ①；
当 $x = -1$ 时，$f(-1) = -3$，代入 $P(x)$ 可得：
$a_0 + a_1\times(-1) + a_2\times(-1)^2 = -3$，即 $a_0 - a_1 + a_2 = -3$ ②；
当 $x = 2$ 时，$f(2) = 4$，代入 $P(x)$ 可得：
$a_0 + a_1\times2 + a_2\times2^2 = 4$，即 $a_0 + 2a_1 + 4a_2 = 4$ ③。
由① - ②可得：
$\begin{align*}(a_0 + a_1 + a_2) - (a_0 - a_1 + a_2) &= 0 - (-3)\\2a_1 &= 3\\a_1 &= \frac{3}{2}\end{align*}$
将 $a_1 = \frac{3}{2}$ 代入①和③可得：
$\begin{cases} a_0 + \frac{3}{2} + a_2 = 0 \\ a_0 + 2\times\frac{3}{2} + 4a_2 = 4 \end{cases}$，即 $\begin{cases} a_0 + a_2 = -\frac{3}{2} \\ a_0 + 4a_2 = 1 \end{cases}$。
由 $a_0 + 4a_2 = 1$ 减去 $a_0 + a_2 = -\frac{3}{2}$ 可得：
$\begin{align*}(a_0 + 4a_2) - (a_0 + a_2) &= 1 - (-\frac{3}{2})\\3a_2 &= \frac{5}{2}\\a_2 &= \frac{5}{6}\end{align*}$
将 $a_2 = \frac{5}{6}$ 代入 $a_0 + a_2 = -\frac{3}{2}$ 可得：
$a_0 + \frac{5}{6} = -\frac{3}{2}$，解得 $a_0 = -\frac{7}{3}$。
所以，$P(x) = -\frac{7}{3} + \frac{3}{2}x + \frac{5}{6}x^2$。

(2) 用拉格朗日插值基函数

拉格朗日插值多项式公式为 $P(x) = f(x_0)L_0(x) + f(x_1)L_1(x) + f(x_2)L_2(x)$，其中 $x_0 = 1$，$x_1 = -1$，$x_2 = 2$，$f(x_0) = 0$，$f(x_1) = -3$，$f(x_2) = 4$。
拉格朗日插值基函数公式为 $L_i(x) = \prod_{j\neq i}\frac{x - x_j}{x_i - x_j}$。

• $L_0(x) = \frac{(x - (-1))(x - 2)}{(1 - (-1))(1 - 2)} = -\frac{(x + 1)(x - 2)}{2}$；
• $L_1(x) = \frac{(x - 1)(x - 2)}{(-1 - 1)(-1 - 2)} = \frac{(x - 1)(x - 2)}{6}$；
• $L_2(x) = \frac{(x - 1)(x - (-1))}{(2 - 1)(2 - (-1))} = \frac{x^2 - 1}{3}$。
  则 $P(x) = 0\times(-\frac{(x + 1)(x - 2)}{2}) + (-3)\times\frac{(x - 1)(x - 2)}{6} + 4\times\frac{x^2 - 1}{3}$
  $\begin{align*}P(x) &= -\frac{1}{2}(x^2 - x - 2) + \frac{4}{3}(x^2 - 1)\\&= -\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}x + 1 + \frac{4}{3}x^2 - \frac{4}{3}\\&= (\frac{4}{3} - \frac{1}{2})x^2 + \frac{1}{2}x + (1 - \frac{4}{3})\\&= \frac{5}{6}x^2 + \frac{3}{2}x - \frac{7}{3}\end{align*}$

(3) 用牛顿基函数

牛顿插值多项式公式为 $P(x) = f[x_0] + f[x_0, x_1](x - x_0) + f[x_0, x_1, x_2](x - x_0)(x - x_1)$。

• 一阶差商：$f[x_0, x_1] = \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0} = \frac{-3 - 0}{-1 - 1} = \frac{3}{2}$；
• 二阶差商：$f[x_0, x_1, x_2] = \frac{f[x_1, x_2] - f[x_0, x_1]}{x_2 - x_0}$，其中 $f[x_1, x_2] = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} = \frac{4 - (-3)}{2 - (-1)} = \frac{7}{3}$，则 $f[x_0, x_1, x_2] = \frac{\frac{7}{3} - \frac{3}{2}}{2 - 1} = \frac{5}{6}$；
• $f[x_0] = f(1) = 0$。
  所以 $P(x) = 0 + \frac{3}{2}(x - 1) + \frac{5}{6}(x - 1)(x + 1)$
  $\begin{align*}P(x) &= \frac{3}{2}x - \frac{3}{2} + \frac{5}{6}(x^2 - 1)\\&= \frac{5}{6}x^2 + \frac{3}{2}x - \frac{3}{2} - \frac{5}{6}\\&= \frac{5}{6}x^2 + \frac{3}{2}x - \frac{7}{3}\end{align*}$

证明三种方法得到的多项式相同

通过前面的计算可知，三种方法得到的多项式均为 $P(x) = \frac{5}{6}x^2 + \frac{3}{2}x - \frac{7}{3}$，所以三种方法得到的多项式是相同的。