题目
设X为随机变量，则D(-2X+1)=（ ）A. -2D(X)+1B. -2D(X)C. -2D(X)+1D. 4D(X)
设X为随机变量，则$D(-2X+1)=$（ ） A. $-2D(X)+1$ B. $-2D(X)$ C. $-2D(X)+1$ D. $4D(X)$
题目解答
答案
我们来分析题目：
题目给出一个随机变量 $ X $，并问我们表达式 $ D(-2X + 1) $ 的值是多少。其中，$ D(X) $ 表示随机变量 $ X $ 的方差，即 $ \text{Var}(X) $。
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### 第一步：方差的性质
方差具有以下两个重要性质：
1. **线性变换对方差的影响：**
对于任意常数 $ a $ 和 $ b $，有：
$$
\text{Var}(aX + b) = a^2 \cdot \text{Var}(X)
$$
注意：**常数项 $ b $ 不影响方差**，因为方差是衡量数据与均值的偏离程度，加一个常数不会改变偏离程度。
2. 所以：
$$
D(aX + b) = a^2 \cdot D(X)
$$
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### 第二步：代入题目中的表达式
题目中是：
$$
D(-2X + 1)
$$
根据上面的公式，令 $ a = -2 $，$ b = 1 $，则：
$$
D(-2X + 1) = (-2)^2 \cdot D(X) = 4 \cdot D(X)
$$
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### 第三步：选择正确答案
所以正确答案是：
$$
\boxed{D. \ 4D(X)}
$$
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### 总结
- 方差对线性变换的响应是：乘上系数平方，常数项不影响。
- 因此，$ D(-2X + 1) = 4D(X) $。