证明：1）从拓扑空间到平庸空间的任何映射都是连续映射；2）从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射.
题目解答
答案
(1) 从拓扑空间到平庸空间的映射
平庸空间的开集仅为空集和全空间。对于任意映射 $ f: X \to Y $（$ Y $ 为平庸空间），原像 $ f^{-1}(\emptyset) = \emptyset $ 和 $ f^{-1}(Y) = X $ 均为 $ X $ 中的开集。因此，$ f $ 连续。
(2) 从离散空间到拓扑空间的映射
离散空间中任意子集均为开集。对于任意映射 $ f: X \to Y $（$ X $ 为离散空间），原像 $ f^{-1}(V) $（$ V $ 为 $ Y $ 中开集）必为 $ X $ 的子集，故为开集。因此，$ f $ 连续。
结论：
(1) 从拓扑空间到平庸空间的任何映射连续；
(2) 从离散空间到拓扑空间的任何映射连续。
$\boxed{\begin{array}{cc}\text{(1) 连续} \\\text{(2) 连续} \\\end{array}}$
解析
本题主要考查拓扑空间中连续映射的定义以及平庸空间和离散空间的性质。解题的关键在于根据连续映射的定义，结合平庸空间和离散空间的开集特点，判断映射的原像是否为开集。
1. 证明从拓扑空间到平庸空间的任何映射都是连续映射
设 $X$ 是一个拓扑空间，$Y$ 是一个平庸空间，$f:X \to Y$ 是任意一个映射。
根据连续映射的定义：设 $X$ 和 $Y$ 是两个拓扑空间，$f:X \to Y$ 是一个映射，如果对于 $Y$ 中的每一个开集 $V$，$f^{-1}(V)$ 都是 $X$ 中的开集，则称 $f$ 是连续映射。
因为 $Y$ 是平庸空间，所以 $Y$ 的开集只有空集 $\emptyset$ 和全空间 $Y$。
- 当 $V = \emptyset$ 时，根据原像的定义，对于任意 $x\in X$，$f(x)\notin \emptyset$，所以 $x\notin f^{-1}(\emptyset)$，即 $f^{-1}(\emptyset)=\emptyset$。由于在拓扑空间 $X$ 中，空集 $\emptyset$ 是开集。
- 当 $V = Y$ 时，对于任意 $x\in X$，$f(x)\in Y$，所以 $x\in f^{-1}(Y)$，即 $f^{-1}(Y)=X$。在拓扑空间 $X$ 中，全空间 $X$ 是开集。
由于 $Y$ 中所有开集的原像在 $X$ 中都是开集，根据连续映射的定义，可知 $f$ 是连续映射。
2. 证明从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射
设 $X$ 是一个离散空间，$Y$ 是一个拓扑空间，$f:X \to Y$ 是任意一个映射。
同样根据连续映射的定义，对于 $Y$ 中的任意开集 $V$，需要判断 $f^{-1}(V)$ 是否为 $X$ 中的开集。
因为 $X$ 是离散空间，根据离散空间的定义，离散空间中任意子集都是开集。
对于 $Y$ 中的任意开集 $V$，$f^{-1}(V)$ 是 $X$ 的一个子集（原像的性质）。由于 $X$ 是离散空间，所以 $f^{-1}(V)$ 是 $X$ 中的开集。
根据连续映射的定义，可知 $f$ 是连续映射。