(i)设二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布,则随机变量 varepsilon =X+Y 与 n=X-Y 不-|||-相关的充分必要条件为 () .-|||-(A) E(X)=E(Y) (B) ((X)^2)-([ E(X)] )^2=(E)_(({Y)^2)}-([ E(Y)] )^2-|||-(C) ((X)^2)=E((Y)^2) (D) ((X)^2)+([ E(X)] )^2=(E)_(({Y)^2)+([ E(Y)] )^2

考查要点：本题主要考查二维正态分布下随机变量不相关的条件，涉及协方差的计算及方差的性质。

解题核心思路：
对于二维正态分布，随机变量不相关的充要条件是它们的协方差为零。通过展开协方差表达式，结合方差的定义，推导出方差相等的条件，进而匹配选项。

破题关键点：

1. 协方差展开：利用协方差的线性性质，将$\text{Cov}(X+Y, X-Y)$展开为$\text{Var}(X) - \text{Var}(Y)$。
2. 方差相等：当且仅当$\text{Var}(X) = \text{Var}(Y)$时，协方差为零，即不相关。
3. 选项匹配：将方差相等的条件转化为选项中的表达式，注意方差的定义$\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$。

步骤1：计算协方差
协方差$\text{Cov}(\varepsilon, \eta)$展开为：
$\begin{aligned}\text{Cov}(X+Y, X-Y) &= \text{Cov}(X, X) - \text{Cov}(X, Y) + \text{Cov}(Y, X) - \text{Cov}(Y, Y) \\&= \text{Var}(X) - \text{Var}(Y).\end{aligned}$

步骤2：不相关条件
当且仅当$\text{Cov}(\varepsilon, \eta) = 0$时，$\varepsilon$与$\eta$不相关，即：
$\text{Var}(X) = \text{Var}(Y).$

步骤3：方差表达式转换
根据方差的定义：
$\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2, \quad \text{Var}(Y) = E(Y^2) - [E(Y)]^2.$
因此，$\text{Var}(X) = \text{Var}(Y)$等价于选项B：
$E(X^2) - [E(X)]^2 = E(Y^2) - [E(Y)]^2.$

选项分析：

• A：$E(X) = E(Y)$与方差无关，排除。
• C：$E(X^2) = E(Y^2)$未考虑期望的影响，排除。
• D：表达式形式不符合方差相等的条件，排除。
• B：直接对应方差相等，正确。