已知 '(x)=k(e)^x k为常数,求f(x)的反函数的二-|||-阶导数.

考查要点：本题主要考查反函数的导数求解，以及二阶导数的链式法则应用。关键在于理解反函数的导数与原函数导数之间的关系，并正确应用复合函数求导法则。

解题核心思路：

1. 反函数导数公式：若 $y = f(x)$，则反函数 $x = f^{-1}(y)$ 的一阶导数为 $\dfrac{dx}{dy} = \dfrac{1}{f'(x)}$。
2. 二阶导数链式法则：对 $\dfrac{dx}{dy}$ 再次求导时，需将变量从 $y$ 转换为 $x$，即 $\dfrac{d^2x}{dy^2} = \dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{dx}{dy}\right) \cdot \dfrac{dx}{dy}$。

破题关键点：

• 直接利用已知的 $f'(x)$ 求出 $\dfrac{dx}{dy}$，无需显式求出 $f(x)$ 的表达式。
• 对 $\dfrac{dx}{dy}$ 关于 $x$ 求导后，再乘以 $\dfrac{dx}{dy}$ 完成链式转换。

步骤1：求反函数的一阶导数

由 $f'(x) = k e^x$，根据反函数导数公式：
$\dfrac{dx}{dy} = \dfrac{1}{f'(x)} = \dfrac{1}{k e^x} = \dfrac{1}{k} e^{-x}.$

步骤2：求反函数的二阶导数

对 $\dfrac{dx}{dy}$ 关于 $y$ 求导，应用链式法则：
$\dfrac{d^2x}{dy^2} = \dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{dx}{dy}\right) \cdot \dfrac{dx}{dy}.$

步骤3：计算 $\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{dx}{dy}\right)$

将 $\dfrac{dx}{dy} = \dfrac{1}{k} e^{-x}$ 对 $x$ 求导：
$\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{1}{k} e^{-x}\right) = \dfrac{1}{k} \cdot (-e^{-x}) = -\dfrac{1}{k} e^{-x}.$

步骤4：代入链式法则公式

将结果与 $\dfrac{dx}{dy}$ 相乘：
$\dfrac{d^2x}{dy^2} = \left(-\dfrac{1}{k} e^{-x}\right) \cdot \dfrac{1}{k} e^{-x} = -\dfrac{1}{k^2} e^{-2x}.$