题目
频率-|||-组距-|||-0.020-|||-0.015-|||-0.010-|||-0.005-|||-o 20 40 60 80 100 时间2021年五一节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策”．某路桥公司为掌握五一节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费站点记录了3日上午9：20～10：40这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有600辆车通过该收费站点，它们通过该收费站点的时刻的频率分布直方图如图所示，其中时间段9：20～9：40记作[20，40），9：40～10：00记作[40，60），10：00～10：20记作[60，80），10：20～10：40记作[80，100），例如：9：46，记作时刻46．（1）估计这600辆车在9：20～10：40时间内通过该收费站点的时刻的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；（2）为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆，再从这10辆车中随机抽取4辆，设抽到的4辆车中，在9：20～10：00之间通过的车辆数为X，求X的分布列；（3）根据大数据分析，车辆在每天通过该收费站点的时刻T服从正态分布N～（μ，σ2），其中μ可用3日数据中的600辆车在9：20～10：40之间通过该收费站点的时刻的平均值近似代替，σ2用样本的方差近似代替（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）．假如4日上午9：20～10：40这一时间段内共有1000辆车通过该收费站点，估计在9：46～10：40之间通过的车辆数（结果保留到整数）．附：若随机变量T服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ-σ＜T≤μ+σ）=0.6827，P（μ-2σ＜T≤μ+2σ）=0.9545，P（μ-3σ＜T≤μ+3σ）=0.9973．
2021年五一节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策”．某路桥公司为掌握五一节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费站点记录了3日上午9：20～10：40这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有600辆车通过该收费站点，它们通过该收费站点的时刻的频率分布直方图如图所示，其中时间段9：20～9：40记作[20，40），9：40～10：00记作[40，60），10：00～10：20记作[60，80），10：20～10：40记作[80，100），例如：9：46，记作时刻46．（1）估计这600辆车在9：20～10：40时间内通过该收费站点的时刻的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；
（2）为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆，再从这10辆车中随机抽取4辆，
设抽到的4辆车中，在9：20～10：00之间通过的车辆数为X，求X的分布列；
（3）根据大数据分析，车辆在每天通过该收费站点的时刻T服从正态分布N～（μ，σ2），其中μ可用3日数据中的600辆车在9：20～10：40之间通过该收费站点的时刻的平均值近似代替，σ2用样本的方差近似代替（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）．假如4日上午9：20～10：40这一时间段内共有1000辆车通过该收费站点，估计在9：46～10：40之间通过的车辆数（结果保留到整数）．
附：若随机变量T服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ-σ＜T≤μ+σ）=0.6827，P（μ-2σ＜T≤μ+2σ）=0.9545，P（μ-3σ＜T≤μ+3σ）=0.9973．
题目解答
答案
解：（1）这600辆车在9：20～10：40时间段内通过该收费点的时刻的平均值为：
（30×0.005+50×0.015+70×0.020+90×0.010）×20=64．
（2）由频率分布直方图和分层抽样的方法可知，抽取的10辆车中，
在10：00前通过的车辆数就是位于时间分组[20，60]这一区间内的车辆数，
即（0.005+0.015）×20×10=4，所以X的可能的取值为0，1，2，3，4．
所以$P（X=0）=\frac{{C_6^4}}{{C_{10}^4}}=\frac{1}{{14}}$，
$P（X=1）=\frac{{C_6^3C_4^1}}{{C_{10}^4}}=\frac{8}{{21}}$，
$P（X=2）=\frac{{C_6^2C_4^2}}{{C_{10}^4}}=\frac{3}{7}$，
$P（X=3）=\frac{{C_6^1C_4^3}}{{C_{10}^4}}=\frac{4}{{35}}$，
$P（X=4）=\frac{{C_4^4}}{{C_{10}^4}}=\frac{1}{{210}}$．
所以X的分布列为：
（3）由（1）得μ=64，$σ_{车辆}^2={（30-64）^2}×0.1+{（50-64）^2}×0.3+{（70-64）^2}×0.4+{（90-64）^2}×0.2=324$．
所以σ=18，估计在9：46～10：40之间通过的车辆数也就是在[46，100）通过的车辆数，
由T～N（64，182），得：
$P（64-18≤T≤64+2×18）=\frac{{P（μ-σ＜T≤μ+σ）}}{2}+\frac{{P（μ-2σ＜T≤μ+2σ）}}{2}=0.8186$，
所以估计在在9：46～10：40之间通过的车辆数为1000×0.8186≈819．
（30×0.005+50×0.015+70×0.020+90×0.010）×20=64．
（2）由频率分布直方图和分层抽样的方法可知，抽取的10辆车中，
在10：00前通过的车辆数就是位于时间分组[20，60]这一区间内的车辆数，
即（0.005+0.015）×20×10=4，所以X的可能的取值为0，1，2，3，4．
所以$P（X=0）=\frac{{C_6^4}}{{C_{10}^4}}=\frac{1}{{14}}$，
$P（X=1）=\frac{{C_6^3C_4^1}}{{C_{10}^4}}=\frac{8}{{21}}$，
$P（X=2）=\frac{{C_6^2C_4^2}}{{C_{10}^4}}=\frac{3}{7}$，
$P（X=3）=\frac{{C_6^1C_4^3}}{{C_{10}^4}}=\frac{4}{{35}}$，
$P（X=4）=\frac{{C_4^4}}{{C_{10}^4}}=\frac{1}{{210}}$．
所以X的分布列为：
| X | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| P | $\frac{1}{{14}}$ | $\frac{8}{{21}}$ | $\frac{3}{7}$ | $\frac{4}{{35}}$ | $\frac{1}{{210}}$ |
所以σ=18，估计在9：46～10：40之间通过的车辆数也就是在[46，100）通过的车辆数，
由T～N（64，182），得：
$P（64-18≤T≤64+2×18）=\frac{{P（μ-σ＜T≤μ+σ）}}{2}+\frac{{P（μ-2σ＜T≤μ+2σ）}}{2}=0.8186$，
所以估计在在9：46～10：40之间通过的车辆数为1000×0.8186≈819．
解析
- 平均值计算：利用频率分布直方图，通过各组中点值与对应频率的加权平均计算总体平均值，需注意组距对概率的影响。
- 分层抽样与超几何分布：分层抽样按比例确定各层样本数，再用超几何分布描述无放回抽样中特定类别数量的分布。
- 正态分布应用：用样本均值和方差估计正态参数，通过已知概率区间计算特定区间的概率，结合总车辆数估计数量。
第（1）题
确定各组中点值与权重
- 时间段中点值：30（[20,40)）、50（[40,60)）、70（[60,80)）、90（[80,100)）。
- 频率对应概率：每组概率为频率×组距（20），即：
- [20,40): $0.005 \times 20 = 0.1$
- [40,60): $0.015 \times 20 = 0.3$
- [60,80): $0.020 \times 20 = 0.4$
- [80,100): $0.010 \times 20 = 0.2$
计算加权平均
平均值 $\bar{x} = 30 \times 0.1 + 50 \times 0.3 + 70 \times 0.4 + 90 \times 0.2 = 64$。
第（2）题
确定分层抽样比例
- [20,60)时间段车辆数占比：$(0.005 + 0.015) \times 20 = 0.4$，抽取 $10 \times 0.4 = 4$ 辆。
- 其余时间段抽取 $10 - 4 = 6$ 辆。
超几何分布建模
- 总体中“成功”数 $K=4$，抽取 $n=4$，总样本 $N=10$。
- 概率公式：$P(X=k) = \frac{\binom{4}{k} \binom{6}{4-k}}{\binom{10}{4}}$，计算各 $k$ 的概率。
第（3）题
计算样本方差
- 方差公式：$\sigma^2 = \sum (\text{中点值} - \mu)^2 \times \text{概率}$，计算得 $\sigma^2 = 324$，即 $\sigma = 18$。
确定区间概率
- 时刻46对应 $\mu - \sigma = 64 - 18 = 46$，时刻100对应 $\mu + 2\sigma = 64 + 36 = 100$。
- 概率计算：$P(46 \leq T < 100) = P(\mu - \sigma \leq T \leq \mu + 2\sigma) = \frac{0.6827}{2} + \frac{0.9545 - 0.6827}{2} = 0.8186$。
估计车辆数
- 结果：$1000 \times 0.8186 \approx 819$。