题目
7.设某两个工厂的每日碳排放量X,Y相互独立且分别服从N(μ,1)和N(μ ,3),各观测两个工厂36日-|||-的碳排放量,记样本均值分别为x,F,(1)计算概率 (|overline (X)-overline (Y)|gt 1) ;(2)求方差 [ ((overline {X)-overline (y))}^2] .
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算 $\overline {X}$ 和 $\overline {Y}$ 的分布
由于 $X$ 和 $Y$ 分别服从 $N(\mu, 1)$ 和 $N(\mu, 3)$，且相互独立，根据中心极限定理，样本均值 $\overline {X}$ 和 $\overline {Y}$ 也分别服从正态分布。具体来说，$\overline {X} \sim N(\mu, \frac{1}{36})$ 和 $\overline {Y} \sim N(\mu, \frac{3}{36})$。
步骤 2：计算 $\overline {X} - \overline {Y}$ 的分布
由于 $\overline {X}$ 和 $\overline {Y}$ 相互独立，$\overline {X} - \overline {Y}$ 也服从正态分布，其均值为 $\mu - \mu = 0$，方差为 $\frac{1}{36} + \frac{3}{36} = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$。因此，$\overline {X} - \overline {Y} \sim N(0, \frac{1}{9})$。
步骤 3：计算 $P(|\overline {X} - \overline {Y}| > 1)$
由于 $\overline {X} - \overline {Y} \sim N(0, \frac{1}{9})$，我们可以通过标准正态分布表来计算 $P(|\overline {X} - \overline {Y}| > 1)$。首先，将 $|\overline {X} - \overline {Y}| > 1$ 转换为标准正态分布的形式，即 $P(|Z| > 3)$，其中 $Z \sim N(0, 1)$。根据标准正态分布表，$P(|Z| > 3) = 2 \times P(Z > 3) = 2 \times 0.00135 = 0.0027$。
步骤 4：计算 $D[(\overline {X} - \overline {Y})^2]$
由于 $\overline {X} - \overline {Y} \sim N(0, \frac{1}{9})$，我们可以通过方差的性质来计算 $D[(\overline {X} - \overline {Y})^2]$。首先，计算 $E[(\overline {X} - \overline {Y})^2]$，即 $E[(\overline {X} - \overline {Y})^2] = Var(\overline {X} - \overline {Y}) + [E(\overline {X} - \overline {Y})]^2 = \frac{1}{9} + 0^2 = \frac{1}{9}$。然后，计算 $E[(\overline {X} - \overline {Y})^4]$，即 $E[(\overline {X} - \overline {Y})^4] = 3[Var(\overline {X} - \overline {Y})]^2 = 3 \times (\frac{1}{9})^2 = \frac{1}{27}$。最后，计算 $D[(\overline {X} - \overline {Y})^2]$，即 $D[(\overline {X} - \overline {Y})^2] = E[(\overline {X} - \overline {Y})^4] - [E[(\overline {X} - \overline {Y})^2]]^2 = \frac{1}{27} - (\frac{1}{9})^2 = \frac{1}{27} - \frac{1}{81} = \frac{2}{81}$。
由于 $X$ 和 $Y$ 分别服从 $N(\mu, 1)$ 和 $N(\mu, 3)$，且相互独立，根据中心极限定理，样本均值 $\overline {X}$ 和 $\overline {Y}$ 也分别服从正态分布。具体来说，$\overline {X} \sim N(\mu, \frac{1}{36})$ 和 $\overline {Y} \sim N(\mu, \frac{3}{36})$。
步骤 2：计算 $\overline {X} - \overline {Y}$ 的分布
由于 $\overline {X}$ 和 $\overline {Y}$ 相互独立，$\overline {X} - \overline {Y}$ 也服从正态分布，其均值为 $\mu - \mu = 0$，方差为 $\frac{1}{36} + \frac{3}{36} = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$。因此，$\overline {X} - \overline {Y} \sim N(0, \frac{1}{9})$。
步骤 3：计算 $P(|\overline {X} - \overline {Y}| > 1)$
由于 $\overline {X} - \overline {Y} \sim N(0, \frac{1}{9})$，我们可以通过标准正态分布表来计算 $P(|\overline {X} - \overline {Y}| > 1)$。首先，将 $|\overline {X} - \overline {Y}| > 1$ 转换为标准正态分布的形式，即 $P(|Z| > 3)$，其中 $Z \sim N(0, 1)$。根据标准正态分布表，$P(|Z| > 3) = 2 \times P(Z > 3) = 2 \times 0.00135 = 0.0027$。
步骤 4：计算 $D[(\overline {X} - \overline {Y})^2]$
由于 $\overline {X} - \overline {Y} \sim N(0, \frac{1}{9})$，我们可以通过方差的性质来计算 $D[(\overline {X} - \overline {Y})^2]$。首先，计算 $E[(\overline {X} - \overline {Y})^2]$，即 $E[(\overline {X} - \overline {Y})^2] = Var(\overline {X} - \overline {Y}) + [E(\overline {X} - \overline {Y})]^2 = \frac{1}{9} + 0^2 = \frac{1}{9}$。然后，计算 $E[(\overline {X} - \overline {Y})^4]$，即 $E[(\overline {X} - \overline {Y})^4] = 3[Var(\overline {X} - \overline {Y})]^2 = 3 \times (\frac{1}{9})^2 = \frac{1}{27}$。最后，计算 $D[(\overline {X} - \overline {Y})^2]$，即 $D[(\overline {X} - \overline {Y})^2] = E[(\overline {X} - \overline {Y})^4] - [E[(\overline {X} - \overline {Y})^2]]^2 = \frac{1}{27} - (\frac{1}{9})^2 = \frac{1}{27} - \frac{1}{81} = \frac{2}{81}$。