题目
5.设总体 sim b(1,p), X1,X2,···,Xn是来自X的样本.-|||-(3)求E(X),D(X),E(S^2).
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算 $E(X)$
由于 $X_i \sim b(1,p)$，即 $X_i$ 是服从参数为 $p$ 的伯努利分布的随机变量，因此 $E(X_i) = p$。样本均值 $X$ 是所有样本值的平均值，即 $X = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$。因此，$E(X) = E(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}E(X_i) = \frac{1}{n} \cdot np = p$。
步骤 2：计算 $D(X)$
由于 $X_i \sim b(1,p)$，即 $X_i$ 是服从参数为 $p$ 的伯努利分布的随机变量，因此 $D(X_i) = p(1-p)$。样本均值 $X$ 的方差 $D(X)$ 是所有样本值方差的平均值，即 $D(X) = D(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i) = \frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^{n}D(X_i) = \frac{1}{n^2} \cdot np(1-p) = \frac{p(1-p)}{n}$。
步骤 3：计算 $E(S^2)$
样本方差 $S^2$ 的期望值 $E(S^2)$ 可以通过以下公式计算：$E(S^2) = E[\frac{1}{n-1}(\sum_{i=1}^{n}X_i^2 - nX^2)] = \frac{1}{n-1}[ \sum_{i=1}^{n}E(X_i^2) - nE(X^2)]$。由于 $X_i \sim b(1,p)$，$E(X_i^2) = E(X_i) = p$，$E(X^2) = D(X) + [E(X)]^2 = \frac{p(1-p)}{n} + p^2$。因此，$E(S^2) = \frac{1}{n-1}[np - n(\frac{p(1-p)}{n} + p^2)] = p(1-p)$。
由于 $X_i \sim b(1,p)$，即 $X_i$ 是服从参数为 $p$ 的伯努利分布的随机变量，因此 $E(X_i) = p$。样本均值 $X$ 是所有样本值的平均值，即 $X = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$。因此，$E(X) = E(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}E(X_i) = \frac{1}{n} \cdot np = p$。
步骤 2：计算 $D(X)$
由于 $X_i \sim b(1,p)$，即 $X_i$ 是服从参数为 $p$ 的伯努利分布的随机变量，因此 $D(X_i) = p(1-p)$。样本均值 $X$ 的方差 $D(X)$ 是所有样本值方差的平均值，即 $D(X) = D(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i) = \frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^{n}D(X_i) = \frac{1}{n^2} \cdot np(1-p) = \frac{p(1-p)}{n}$。
步骤 3：计算 $E(S^2)$
样本方差 $S^2$ 的期望值 $E(S^2)$ 可以通过以下公式计算：$E(S^2) = E[\frac{1}{n-1}(\sum_{i=1}^{n}X_i^2 - nX^2)] = \frac{1}{n-1}[ \sum_{i=1}^{n}E(X_i^2) - nE(X^2)]$。由于 $X_i \sim b(1,p)$，$E(X_i^2) = E(X_i) = p$，$E(X^2) = D(X) + [E(X)]^2 = \frac{p(1-p)}{n} + p^2$。因此，$E(S^2) = \frac{1}{n-1}[np - n(\frac{p(1-p)}{n} + p^2)] = p(1-p)$。