题目
设总体approx N(mu ,16),approx N(mu ,16)为其样本，检验假设approx N(mu ,16)则approx N(mu ,16)的接受域为_____.若approx N(mu ,16)犯第二类错误的概率为approx N(mu ,16)____.
设总体
,
为其样本，检验假设
则
的接受域为_____.若
犯第二类错误的概率为
____.
题目解答
答案
已知总体,为其样本，检验假设因此，可构造检验统计量
则其拒绝域为
因此，接受域为
若则
。
由第二类错误的定义可得：
.
查表得
所以，
.
因此，第二类错误为
解析
步骤 1：构造检验统计量
由于总体$X\sim N(\mu ,16)$，样本容量为4，因此，检验统计量$z=\dfrac {\sqrt {n}(\overline {X}-\mu )}{\sigma }=\dfrac {\sqrt {4}(\overline {X}-\mu )}{4}\sim N(0,1)$。
步骤 2：确定拒绝域
根据显著性水平$\alpha =0.05$，双侧检验的拒绝域为$N=\{ |Z|\gt {u}_{\dfrac {a}{2}}\} =\{ |\dfrac {\overline {X}-5}{2}|\gt 1.96\}$。
步骤 3：确定接受域
接受域为$\overline {W}=\{ |\dfrac {\overline {X}-5}{2}|\leqslant 1.96\}$。
步骤 4：计算第二类错误的概率
若$9=r$，则$\dfrac {\sqrt {2}(\overline {X}-6)}{4}\sim N(0,1)$。由第二类错误的定义可得：$\beta =P(\overline {W}|{\theta }_{1})=\{ |\dfrac {\overline {X}-5}{2}|\leqslant 1.96|\mu =6\} $。通过计算，查表得$\beta =0.928-0.0069=0.9211$。
由于总体$X\sim N(\mu ,16)$，样本容量为4，因此，检验统计量$z=\dfrac {\sqrt {n}(\overline {X}-\mu )}{\sigma }=\dfrac {\sqrt {4}(\overline {X}-\mu )}{4}\sim N(0,1)$。
步骤 2：确定拒绝域
根据显著性水平$\alpha =0.05$，双侧检验的拒绝域为$N=\{ |Z|\gt {u}_{\dfrac {a}{2}}\} =\{ |\dfrac {\overline {X}-5}{2}|\gt 1.96\}$。
步骤 3：确定接受域
接受域为$\overline {W}=\{ |\dfrac {\overline {X}-5}{2}|\leqslant 1.96\}$。
步骤 4：计算第二类错误的概率
若$9=r$，则$\dfrac {\sqrt {2}(\overline {X}-6)}{4}\sim N(0,1)$。由第二类错误的定义可得：$\beta =P(\overline {W}|{\theta }_{1})=\{ |\dfrac {\overline {X}-5}{2}|\leqslant 1.96|\mu =6\} $。通过计算，查表得$\beta =0.928-0.0069=0.9211$。