求极限lim_(x to 0) (sqrt(1+5x) + sqrt(1-5x) - 2)/(x^2).

我们要求极限：

$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+5x} + \sqrt{1-5x} - 2}{x^2}$

第一步：观察结构

这个极限的形式是：

$\frac{\text{表达式} - 2}{x^2}$

当 $ x \to 0 $ 时，分子中的两个平方根分别趋近于 1，因此整个分子趋近于 $ 1 + 1 - 2 = 0 $，而分母 $ x^2 \to 0 $，所以这是一个 0/0 型不定式，可以使用洛必达法则或泰勒展开来处理。

第二步：使用泰勒展开法

我们对两个平方根函数在 $ x = 0 $ 处进行泰勒展开（即麦克劳林展开）。

1. 展开 $ \sqrt{1 + 5x} $

我们知道：

$\sqrt{1 + a} = 1 + \frac{a}{2} - \frac{a^2}{8} + \frac{a^3}{16} - \cdots$

令 $ a = 5x $，则：

$\sqrt{1 + 5x} = 1 + \frac{5x}{2} - \frac{(5x)^2}{8} + \cdots = 1 + \frac{5x}{2} - \frac{25x^2}{8} + \cdots$

2. 展开 $ \sqrt{1 - 5x} $

同样地：

$\sqrt{1 - 5x} = 1 - \frac{5x}{2} - \frac{(5x)^2}{8} + \cdots = 1 - \frac{5x}{2} - \frac{25x^2}{8} + \cdots$

第三步：相加并化简分子

将两个展开式相加：

$\sqrt{1 + 5x} + \sqrt{1 - 5x} = \left(1 + \frac{5x}{2} - \frac{25x^2}{8}\right) + \left(1 - \frac{5x}{2} - \frac{25x^2}{8}\right)$

$= 2 - \frac{50x^2}{8} = 2 - \frac{25x^2}{4}$

因此，分子变为：

$\sqrt{1 + 5x} + \sqrt{1 - 5x} - 2 = \left(2 - \frac{25x^2}{4}\right) - 2 = -\frac{25x^2}{4}$

第四步：代入原式

原极限变为：

$\lim_{x \to 0} \frac{-\frac{25x^2}{4}}{x^2} = \lim_{x \to 0} -\frac{25}{4} = -\frac{25}{4}$

✅ 最终答案：

$\boxed{-\frac{25}{4}}$