在1500件产品中有400件次品,1100件正品.任取200件. （1）求恰有90件次品的概率.（2）求至少有2件次品的概率.

考查要点：本题主要考查超几何分布的应用，以及补集思想在概率计算中的运用。

解题核心思路：

1. 第（1）题：直接应用超几何分布公式，计算从次品和正品中分别选取指定数量的组合数之积，再除以总组合数。
2. 第（2）题：通过补集思想，将“至少有2件次品”转化为“1减去至多1件次品的概率”，简化计算。

破题关键点：

• 明确问题类型：无放回抽样，属于超几何分布问题。
• 组合数的正确应用：注意次品和正品选取数量的匹配性。
• 补集思想的灵活运用：将复杂事件转化为简单事件的补集。

第（1）题

目标：计算恰好有90件次品的概率。

应用超几何分布公式

从400件次品中选90件，从1100件正品中选110件（总选200件），再除以从1500件中选200件的总组合数：
$P = \frac{C_{400}^{90} \cdot C_{1100}^{110}}{C_{1500}^{200}}$

第（2）题

目标：计算至少有2件次品的概率。

转化为补集事件

“至少2件次品”的反面是“至多1件次品”，即0件或1件次品：
$P(\text{至少2件次品}) = 1 - \left[ P(0\text{件次品}) + P(1\text{件次品}) \right]$

计算补集概率

1. 0件次品：全部选正品：
   $P(0\text{件次品}) = \frac{C_{1100}^{200}}{C_{1500}^{200}}$

2. 1件次品：从次品选1件，正品选199件：
   $P(1\text{件次品}) = \frac{C_{400}^{1} \cdot C_{1100}^{199}}{C_{1500}^{200}}$

合并结果

$P = 1 - \left( \frac{C_{1100}^{200}}{C_{1500}^{200}} + \frac{C_{400}^{1} \cdot C_{1100}^{199}}{C_{1500}^{200}} \right)$