9 设常数a>0，则lim_(xto+infty)(a^x)/(1+a^x)=____.
题目解答
答案
为了求解极限 $\lim_{x \to +\infty} \frac{a^x}{1 + a^x}$，我们需要根据 $a$ 的值进行分类讨论。
情况1: $a > 1$
当 $a > 1$ 时， $a^x$ 随着 $x$ 趋向于正无穷大而趋向于正无穷大。因此，我们可以将极限表达式中的分子和分母同时除以 $a^x$，得到：
$\lim_{x \to +\infty} \frac{a^x}{1 + a^x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{\frac{1}{a^x} + 1}$
由于 $a^x \to +\infty$，所以 $\frac{1}{a^x} \to 0$。因此，极限变为：
$\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{\frac{1}{a^x} + 1} = \frac{1}{0 + 1} = 1$
情况2: $a = 1$
当 $a = 1$ 时， $a^x = 1^x = 1$。因此，极限表达式简化为：
$\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$
情况3: $0 < a < 1$
当 $0 < a < 1$ 时， $a^x$ 随着 $x$ 趋向于正无穷大而趋向于0。因此，极限表达式直接简化为：
$\lim_{x \to +\infty} \frac{a^x}{1 + a^x} = \frac{0}{1 + 0} = 0$
综上所述，根据 $a$ 的值，极限 $\lim_{x \to +\infty} \frac{a^x}{1 + a^x}$ 的值为：
$\boxed{\begin{cases} 1 & \text{if } a > 1 \\ \frac{1}{2} & \text{if } a = 1 \\ 0 & \text{if } 0 < a < 1 \end{cases}}$
解析
本题考查指数函数的性质以及极限的计算，解题思路是根据指数函数$y = a^x$（$a>0$）在不同取值范围下的单调性，对$a$进行分类讨论，进而求出极限值。
- 当$a > 1$时：
- 指数函数$y = a^x$在$R$上单调递增，所以当$x\to +\infty$时，$a^x\to +\infty$。
- 为了便于计算极限，将原式$\lim_{x\to+\infty}\frac{a^{x}}{1+a^{x}}$的分子分母同时除以$a^x$，根据分式的基本性质$\frac{A}{B}=\frac{\frac{A}{C}}{\frac{B}{C}}$（$C\neq0$）可得：
$\lim_{x\to+\infty}\frac{a^{x}}{1+a^{x}}=\lim_{x\to+\infty}\frac{\frac{a^{x}}{a^{x}}}{\frac{1}{a^{x}}+\frac{a^{x}}{a^{x}}}=\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{\frac{1}{a^{x}} + 1}$ - 因为$a^x\to +\infty$，那么$\frac{1}{a^x}\to 0$，所以$\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{\frac{1}{a^{x}} + 1}=\frac{1}{0 + 1}=1$。
- 当$a = 1$时：
- 此时$a^x = 1^x = 1$，则原式$\lim_{x\to+\infty}\frac{a^{x}}{1+a^{x}}$变为$\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{1 + 1}$。
- 因为$\frac{1}{1 + 1}$是一个常数，与$x$无关，所以$\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{1 + 1}=\frac{1}{2}$。
- 当$0 < a < 1$时：
- 指数函数$y = a^x$在$R$上单调递减，所以当$x\to +\infty$时，$a^x\to 0$。
- 那么$\lim_{x\to+\infty}\frac{a^{x}}{1+a^{x}}=\frac{0}{1 + 0}=0$。