设总体 X sim N(mu, sigma^2)，其中 sigma^2 已知，Phi(x) 为 N(0,1) 的分布函数，现进行 n 次独立实验得到样本均值为 overline(x)，对应于置信水平 1-alpha 的 mu 的置信区间为 (overline(x)-varepsilon, overline(x)+varepsilon)，则 varepsilon 由(）确定。A. Phi((varepsilon sqrt(n))/(sigma))=1-alpha/2B. Phi((sqrt(n))/(varepsilon sigma))=1-alpha/2C. Phi((varepsilon sqrt(n))/(sigma))=1-alphaD. Phi((varepsilon sqrt(n))/(sigma))=alpha

考查要点：本题主要考查正态总体均值在已知方差时的置信区间构造方法，重点在于理解标准化后的统计量与标准正态分布的关系，以及如何通过分位数确定误差范围$\varepsilon$。

解题核心思路：

1. 标准化样本均值：利用样本均值的分布特性，将其转化为标准正态变量。
2. 确定分位数：根据置信水平$1-\alpha$，找到对应的分位数$z_{\alpha/2}$，并建立概率等式。
3. 解方程求$\varepsilon$：通过置信区间的形式，将误差范围$\varepsilon$与分位数联系起来，最终得到$\varepsilon$的表达式。

破题关键点：

• 正确写出标准化后的统计量：$\frac{\overline{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} \sim N(0,1)$。
• 理解双侧置信区间的分位数关系：$\Phi(z_{\alpha/2}) = 1 - \alpha/2$，而非$\Phi(z_{\alpha}) = 1 - \alpha$。

步骤1：标准化样本均值

已知总体$X \sim N(\mu, \sigma^2)$，样本均值$\overline{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$。标准化后得到：
$Z = \frac{\overline{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} \sim N(0,1)$

步骤2：建立置信区间概率等式

对于置信水平$1-\alpha$，双侧置信区间对应的概率为：
$P\left(-z_{\alpha/2} < Z < z_{\alpha/2}\right) = 1 - \alpha$
其中，$z_{\alpha/2}$满足$\Phi(z_{\alpha/2}) = 1 - \alpha/2$。

步骤3：解方程求$\mu$的置信区间

将标准化统计量代入概率等式，解得：
$\mu \in \left(\overline{X} - z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \overline{X} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$
对比题目给出的区间$(\overline{x} - \varepsilon, \overline{x} + \varepsilon)$，可得：
$\varepsilon = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

步骤4：关联$\varepsilon$与$\Phi$函数

将$\varepsilon$代入标准化表达式，得到：
$\frac{\varepsilon \sqrt{n}}{\sigma} = z_{\alpha/2}$
结合$\Phi(z_{\alpha/2}) = 1 - \alpha/2$，最终确定$\varepsilon$的表达式为：
$\Phi\left(\frac{\varepsilon \sqrt{n}}{\sigma}\right) = 1 - \frac{\alpha}{2}$