题目

6.设函数f(x)在点x=3的邻域内可微，且lim_(x to 3)f(x)=0，lim_(x to 3)f^prime(x)=4016，求lim_(x to 3) (int_(3)^x[tint_(t)^3f(s)ds]dt)/((3-x)^3).

6.设函数f(x)在点x=3的邻域内可微，且$\lim_{x \to 3}f(x)=0$，$\lim_{x \to 3}f^{\prime}(x)=4016$，求$\lim_{x \to 3} \frac{\int_{3}^{x}[t\int_{t}^{3}f(s)ds]dt}{(3-x)^{3}}.$

题目解答

答案

为了求解极限 $\lim_{x \to 3} \frac{\int_{3}^{x}[t\int_{t}^{3}f(s)ds]dt}{(3-x)^{3}}$，我们可以使用洛必达法则。首先，我们定义分子和分母的函数： \[ g(x) = \int_{3}^{x}[t\int_{t}^{3}f(s)ds]dt \] \[ h(x) = (3-x)^3 \] 我们需要求 $\lim_{x \to 3} \frac{g(x)}{h(x)}$。由于 $g(3) = 0$ 和 $h(3) = 0$，我们可以应用洛必达法则。根据洛必达法则，我们有： \[ \lim_{x \to 3} \frac{g(x)}{h(x)} = \lim_{x \to 3} \frac{g'(x)}{h'(x)} \] 首先，我们求 $g'(x)$。根据积分的求导法则，我们有： \[ g'(x) = x \int_{x}^{3} f(s) ds \] 接下来，我们求 $h'(x)$： \[ h'(x) = -3(3-x)^2 \] 现在，我们应用洛必达法则： \[ \lim_{x \to 3} \frac{g(x)}{h(x)} = \lim_{x \to 3} \frac{x \int_{x}^{3} f(s) ds}{-3(3-x)^2} \] 由于 $x \to 3$ 时，分子和分母仍然都 tends to 0，我们可以再次应用洛必达法则。首先，我们求分子的导数： \[ \frac{d}{dx} \left( x \int_{x}^{3} f(s) ds \right) = \int_{x}^{3} f(s) ds + x \cdot (-f(x)) = \int_{x}^{3} f(s) ds - x f(x) \] 接下来，我们求分母的导数： \[ \frac{d}{dx} \left( -3(3-x)^2 \right) = -3 \cdot (-2) \cdot (3-x) = 6(3-x) \] 现在，我们再次应用洛必达法则： \[ \lim_{x \to 3} \frac{x \int_{x}^{3} f(s) ds}{-3(3-x)^2} = \lim_{x \to 3} \frac{\int_{x}^{3} f(s) ds - x f(x)}{6(3-x)} \] 由于 $x \to 3$ 时，分子和分母仍然都 tends to 0，我们可以再次应用洛必达法则。首先，我们求分子的导数： \[ \frac{d}{dx} \left( \int_{x}^{3} f(s) ds - x f(x) \right) = -f(x) - f(x) - x f'(x) = -2f(x) - x f'(x) \] 接下来，我们求分母的导数： \[ \frac{d}{dx} \left( 6(3-x) \right) = -6 \] 现在，我们再次应用洛必达法则： \[ \lim_{x \to 3} \frac{\int_{x}^{3} f(s) ds - x f(x)}{6(3-x)} = \lim_{x \to 3} \frac{-2f(x) - x f'(x)}{-6} = \lim_{x \to 3} \frac{2f(x) + x f'(x)}{6} \] 由于 $\lim_{x \to 3} f(x) = 0$ 和 $\lim_{x \to 3} f'(x) = 4016$，我们有： \[ \lim_{x \to 3} \frac{2f(x) + x f'(x)}{6} = \frac{2 \cdot 0 + 3 \cdot 4016}{6} = \frac{12048}{6} = 2008 \] 因此，极限是： \[ \boxed{2008} \]

解析

考查要点：本题主要考查洛必达法则在处理复杂积分极限中的应用，以及变上限积分求导的综合运用能力。

解题核心思路：

  1. 识别极限类型：当$x \to 3$时，分子为积分表达式，分母为$(3-x)^3$，两者均趋近于$0$，属于$\frac{0}{0}$型不定式，可应用洛必达法则。
  2. 多次应用洛必达法则：由于分子和分母在多次求导后仍保持$\frac{0}{0}$型，需反复使用洛必达法则，直到极限可直接计算为止。
  3. 积分求导技巧：对变上限积分$\int_{t}^{3}f(s)ds$求导时，注意积分上下限的处理，以及乘积法则的应用。

破题关键点：

  • 正确求导：每次应用洛必达法则时，需准确计算分子和分母的导数，尤其注意积分上下限为变量时的求导规则。
  • 极限代入：最终代入$x \to 3$时，利用已知条件$\lim_{x \to 3}f(x)=0$和$\lim_{x \to 3}f'(x)=4016$简化表达式。

设函数$g(x) = \int_{3}^{x}\left[t\int_{t}^{3}f(s)ds\right]dt$，$h(x) = (3-x)^3$，则原极限可表示为$\lim_{x \to 3} \frac{g(x)}{h(x)}$。

第一次应用洛必达法则

  1. 求导分子$g(x)$：
    根据变上限积分求导法则，
    $g'(x) = x \int_{x}^{3}f(s)ds.$
  2. 求导分母$h(x)$：
    $h'(x) = -3(3-x)^2.$
  3. 更新极限表达式：
    $\lim_{x \to 3} \frac{g(x)}{h(x)} = \lim_{x \to 3} \frac{x \int_{x}^{3}f(s)ds}{-3(3-x)^2}.$

第二次应用洛必达法则

  1. 求导分子$x \int_{x}^{3}f(s)ds$：
    应用乘积法则和积分求导规则，
    $\frac{d}{dx}\left[x \int_{x}^{3}f(s)ds\right] = \int_{x}^{3}f(s)ds + x \cdot (-f(x)) = \int_{x}^{3}f(s)ds - x f(x).$
  2. 求导分母$-3(3-x)^2$：
    $\frac{d}{dx}\left[-3(3-x)^2\right] = 6(3-x).$
  3. 更新极限表达式：
    $\lim_{x \to 3} \frac{\int_{x}^{3}f(s)ds - x f(x)}{6(3-x)}.$

第三次应用洛必达法则

  1. 求导分子$\int_{x}^{3}f(s)ds - x f(x)$：
    $\frac{d}{dx}\left[\int_{x}^{3}f(s)ds - x f(x)\right] = -f(x) - \left[f(x) + x f'(x)\right] = -2f(x) - x f'(x).$
  2. 求导分母$6(3-x)$：
    $\frac{d}{dx}\left[6(3-x)\right] = -6.$
  3. 更新极限表达式：
    $\lim_{x \to 3} \frac{-2f(x) - x f'(x)}{-6} = \lim_{x \to 3} \frac{2f(x) + x f'(x)}{6}.$

代入已知极限

根据$\lim_{x \to 3}f(x)=0$和$\lim_{x \to 3}f'(x)=4016$，得：
$\frac{2 \cdot 0 + 3 \cdot 4016}{6} = \frac{12048}{6} = 2008.$