题目

3. (2.0分) 【单选题】设X_(1),X_(2),...,X_(n)是来自正态总体Xsim N(0,sigma^2)的一个简单随机样本，则sigma^2的无偏估计量的是( )A. (1)/(n)sum_(i=1)^nX_(i)^2B. (1)/(n-1)sum_(i=1)^nX_(i)^2C. (1)/(n^2)sum_(i=1)^nX_(i)^2D. (1)/(n+1)sum_(i=1)^nX_(i)^2

3. (2.0分) 【单选题】设$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$是来自正态总体$X\sim N(0,\sigma^{2})$的一个简单随机样本，则$\sigma^{2}$的无偏估计量的是( )

A. $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{2}$

B. $\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{2}$

C. $\frac{1}{n^{2}}\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{2}$

D. $\frac{1}{n+1}\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{2}$

题目解答

答案

A. $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{2}$

解析

考查要点：本题主要考查无偏估计量的概念及其在正态总体方差估计中的应用。
解题核心思路：

  1. 无偏性要求估计量的期望等于被估计的参数。
  2. 利用正态分布的性质，计算样本平方和的期望，确定系数使得估计量无偏。
    破题关键点：
  • 明确总体均值已知为0，无需用样本均值代替，直接通过样本平方和构造估计量。
  • 通过计算期望，确定系数$c$的值，使得估计量无偏。

设$\hat{\sigma}^2 = c \sum_{i=1}^{n} X_i^2$，需满足$E(\hat{\sigma}^2) = \sigma^2$。

  1. 计算$\sum X_i^2$的期望：
    由于$X_i \sim N(0, \sigma^2)$，有$E(X_i^2) = \sigma^2$，因此：
    $E\left(\sum_{i=1}^{n} X_i^2\right) = \sum_{i=1}^{n} E(X_i^2) = n \sigma^2.$
  2. 确定系数$c$：
    代入$\hat{\sigma}^2$的期望：
    $E(\hat{\sigma}^2) = c \cdot n \sigma^2.$
    要求$E(\hat{\sigma}^2) = \sigma^2$，解得：
    $c = \frac{1}{n}.$
  3. 结论：
    无偏估计量为$\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i^2$，对应选项A。