题目
3/50单选题(2分) 设两个相互独立的随机变量X和Y的方差分别为1和2，则随机变量 9X-2Y的方差为( ). A. 5 B. 1 C. 72 D. 89
3/50单选题(2分) 设两个相互独立的随机变量X和Y的方差分别为1和2，则随机变量$ 9X-2Y$的方差为( ).
A. 5
B. 1
C. 72
D. 89
A. 5
B. 1
C. 72
D. 89
题目解答
答案
根据方差的性质，对于独立随机变量 $X$ 和 $Y$，有：
\[
D(aX + bY) = a^2D(X) + b^2D(Y)
\]
代入题目条件 $a=9$，$b=-2$，$D(X)=1$，$D(Y)=2$，得：
\[
D(9X - 2Y) = 9^2 \times 1 + (-2)^2 \times 2 = 81 + 8 = 89
\]
因此，正确答案为 $\boxed{D}$。
解析
考查要点：本题主要考查方差的性质，特别是当随机变量相互独立时，线性组合方差的计算方法。
解题核心思路：
对于两个独立的随机变量$X$和$Y$，若考虑线性组合$aX + bY$，其方差的计算公式为：
$D(aX + bY) = a^2D(X) + b^2D(Y)$
关键点在于：
- 系数平方：方差中系数需要平方处理；
- 独立性：由于$X$和$Y$独立，协方差项为零，无需额外计算。
根据方差的性质，当$X$和$Y$独立时，随机变量$9X - 2Y$的方差计算步骤如下：
代入公式
$D(9X - 2Y) = 9^2D(X) + (-2)^2D(Y)$
代入已知条件
已知$D(X) = 1$，$D(Y) = 2$，代入得：
$D(9X - 2Y) = 81 \times 1 + 4 \times 2$
计算结果
$81 + 8 = 89$
因此，方差为$89$，对应选项D。