3. 标准分数具有平均数为 输入答案 ,标准差为

标准分数（Z分数）是统计学中常用的一种标准化方法，其核心目的是消除原始数据的量纲和分布差异，便于比较。本题考查标准分数的两个基本特性：平均数和标准差。

• 关键思路：标准分数通过“原始分数减去平均数，再除以标准差”的过程，使得转换后的数据集平均数为0，标准差为1。
• 破题关键：理解标准化操作如何改变数据的集中趋势（均值）和离散程度（标准差）。

标准分数的计算公式为：
$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$
其中，$X$ 是原始分数，$\mu$ 是原始数据的平均数，$\sigma$ 是原始数据的标准差。

平均数的推导

1. 定义均值：标准分数的均值为
   $E(Z) = E\left(\frac{X - \mu}{\sigma}\right)$
2. 线性性质：均值运算中，常数项被减去后为0，即
   $E(Z) = \frac{E(X) - \mu}{\sigma} = \frac{\mu - \mu}{\sigma} = 0$

标准差的推导

1. 方差公式：标准分数的方差为
   $\text{Var}(Z) = \text{Var}\left(\frac{X - \mu}{\sigma}\right)$
2. 方差性质：常数倍的方差等于原方差乘以常数平方，即
   $\text{Var}(Z) = \frac{\text{Var}(X)}{\sigma^2} = \frac{\sigma^2}{\sigma^2} = 1$
3. 标准差：方差的平方根为
   $\sqrt{\text{Var}(Z)} = \sqrt{1} = 1$