题目
(4)(2003年,一)已知一批零件的长度X (单位:cm)服从正态分布N(μ,1),从-|||-中随机地抽取16个零件,得到长度的平均值为40(cm),则μ的置信度为0.95的置-|||-信区间是 __
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定已知条件
已知零件长度X服从正态分布N(μ,1)，即均值为μ，方差为1。从这批零件中随机抽取16个零件，得到长度的平均值为40cm。置信度为0.95。
步骤 2：确定置信区间的计算公式
由于方差已知，且样本量n=16，根据正态分布的性质，μ的置信区间为：
$$
\left(\overline{x} - z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \overline{x} + z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)
$$
其中，$\overline{x}$是样本均值，$z_{\alpha/2}$是标准正态分布的分位数，$\sigma$是总体标准差，n是样本量。
步骤 3：计算置信区间
根据题目，$\overline{x} = 40$，$\sigma = 1$，n=16，置信度为0.95，即$\alpha = 0.05$。查标准正态分布表，$z_{0.025} = 1.96$。代入公式计算：
$$
\left(40 - 1.96 \frac{1}{\sqrt{16}}, 40 + 1.96 \frac{1}{\sqrt{16}}\right) = (40 - 1.96 \times 0.25, 40 + 1.96 \times 0.25) = (39.51, 40.49)
$$
已知零件长度X服从正态分布N(μ,1)，即均值为μ，方差为1。从这批零件中随机抽取16个零件，得到长度的平均值为40cm。置信度为0.95。
步骤 2：确定置信区间的计算公式
由于方差已知，且样本量n=16，根据正态分布的性质，μ的置信区间为：
$$
\left(\overline{x} - z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \overline{x} + z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)
$$
其中，$\overline{x}$是样本均值，$z_{\alpha/2}$是标准正态分布的分位数，$\sigma$是总体标准差，n是样本量。
步骤 3：计算置信区间
根据题目，$\overline{x} = 40$，$\sigma = 1$，n=16，置信度为0.95，即$\alpha = 0.05$。查标准正态分布表，$z_{0.025} = 1.96$。代入公式计算：
$$
\left(40 - 1.96 \frac{1}{\sqrt{16}}, 40 + 1.96 \frac{1}{\sqrt{16}}\right) = (40 - 1.96 \times 0.25, 40 + 1.96 \times 0.25) = (39.51, 40.49)
$$