4． [2011 年]设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 E(X)与 E(Y)存在，记U=max(X，Y)，V=min(X，Y)，则 E(UV)=()．A. E(U)E(V)B. E(X)E(Y)C. E(U)E(Y)D. E(X)E. (V)

关键思路：本题考察随机变量的期望性质及独立随机变量的乘积期望。解题的核心在于发现max{X,Y} × min{X,Y} = X × Y这一恒等式，从而将问题转化为计算E(XY)。由于X与Y独立，可直接应用独立变量的期望乘积性质，即E(XY) = E(X)E(Y)。

破题关键：

1. 恒等变形：明确max{X,Y} × min{X,Y} = X × Y对任意实数X、Y成立。
2. 独立性应用：利用X与Y独立，得出E(XY) = E(X)E(Y)。

步骤1：恒等式推导
对任意实数X、Y，有：
$\max\{X,Y\} \times \min\{X,Y\} = X \times Y$
无论X ≥ Y还是Y > X，等式均成立。例如：

• 若X = 3，Y = 5，则max{X,Y} = 5，min{X,Y} = 3，乘积为15，等于3×5。
• 若X = 5，Y = 3，同理乘积仍为15。

步骤2：期望转化
根据恒等式，可得：
$E(UV) = E(\max\{X,Y\} \times \min\{X,Y\}) = E(XY)$

步骤3：独立性应用
题目已知X与Y独立，且期望存在，因此：
$E(XY) = E(X) \times E(Y)$

结论：
$E(UV) = E(X)E(Y)$