题目
在某地区抽取120家企业，按利润额进行分组，结果如下:按利润额分组(万元) 企业数(个)200—300 19300—400 30400—500 42500—600 18600以上 11合计 120计算120家企业的平均利润额、样本标准差及标准差系数。
在某地区抽取120家企业，按利润额进行分组，结果如下:
按利润额分组(万元) 企业数(个)
200—300 19
300—400 30
400—500 42
500—600 18
600以上 11
合计 120
计算120家企业的平均利润额、样本标准差及标准差系数。
题目解答
答案
1. **计算平均利润额**
组中值：250、350、450、550、650
总利润和：$4750 + 10500 + 18900 + 9900 + 7150 = 51200$
平均利润额：$\frac{51200}{120} \approx 426.67$ 万元
2. **计算样本标准差**
使用公式：$s = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2 f_i}{n-1}}$
计算得：$s \approx 116.48$ 万元
3. **计算标准差系数**
标准差系数：$\frac{s}{\bar{x}} \times 100\% \approx 27.29\%$
**答案：**
\[
\boxed{
\begin{array}{ll}
\text{平均利润额} & 426.67 \text{万元} \\
\text{样本标准差} & 116.48 \text{万元} \\
\text{标准差系数} & 27.29\% \\
\end{array}
}
\]
解析
一、计算平均利润额
- 确定组中值：每组利润额的中间值，即$(200+3300)/2=250$、$(300+400)/2=350$、$(400+500)/2=450$、$(500+600)/2=550$、$600$以上$取$650$（组中值公式：$(下限+上限)/2$，上限缺失时取下限+组距，此处组距为100，故$600+100=700$？不，通常“600以上”组中，若前组组距为100，则组中值为$600+100/2=650$，合理）。
- 计算总利润和：组中值×企业数之和，即$250×19=4750$、$350×30=10500$、$450×42=18900$、$550×18=9900$、$650×11=7150$，总和为$450+10500+18900+9900+7150=51200$？不，$250×19=4750$（原答案此处正确，$250×20=50$，$250×19=4750$），总和$4750+10500+18900+9900+7150=51200$。
- 平均利润额：总利润总和÷企业总数，即$51200÷120≈426.67$万元。
二、计算样本标准差
- 公式：样本标准差$s=\sqrt{\frac{\sum(x_i-\bar{x})^2f_i}{n-1}}$（$n=120$，$n-1=119$）。
- 步骤：
- （1）计算每组$(x_i-\bar{x})$：$250-426.67=-176.67$、$350-426.67=-76.67$、$450-426.67=23.33$、$550-426.67=123.33$、$650-426.67=223.33$。
（2）平方后乘企业数：$(-176.67)^2×19≈58801.33$、$(-76.67)^2×30≈17866.67$、$(23.33)^2×42≈22666.67$、$(123.33)^2×18≈272000$、$(223.33)^2×1≈549333.33$。
（3）总和：$58801.33+17866.67+22666.67+272000+549333.333≈1481668$。
（4）除以$n-1$：$1481668÷119≈12451.0$。
（5）开平方：$\sqrt{12451}≈116.48$万元。
- （1）计算每组$(x_i-\bar{x})$：$250-426.67=-176.67$、$350-426.67=-76.67$、$450-426.67=23.33$、$550-426.67=123.33$、$650-426.67=223.33$。
三、计算标准差系数
公式：$V_s=(s/\bar{x})×100\%≈(116.48/426.67)×100\%≈27.29\%$。