题目
设 X 与 Y 相互独立 X ~（1 , 2 ) , Y ~ N ( 0 , 1 )，且 Z = aX + bY + c 服从分布 N ( 5 , 9 ) 则 ( A ) a = 2 , b = -1 , c = 3 ( B ) a = -2 , b = -1 , c = 3 ( C ) a = 2 , b = -2 , c = 1 ( D ) a = 1 , b = 1 , c = 2
设 X 与 Y 相互独立 X ~（1 , 2 ) , Y ~ N ( 0 , 1 )，且 Z = aX + bY + c 服从分布 N ( 5 , 9 ) 则
( A ) a = 2 , b = -1 , c = 3
( B ) a = -2 , b = -1 , c = 3
( C ) a = 2 , b = -2 , c = 1
( D ) a = 1 , b = 1 , c = 2
题目解答
答案
由题意可知，E(X)=1,D(X)=2；E(Y)=0，D(Y)=1。
则E(aX+bY+c)=aE(X)+bE(Y)+c=5，
D(aX+bY+c)=
D(X)+
D(Y)=9。
解得a = 2 , b = -1 , c = 3
故选A。
解析
步骤 1：确定 X 和 Y 的期望和方差
由题意可知，X 服从正态分布 N(1, 2)，Y 服从正态分布 N(0, 1)。因此，E(X) = 1，D(X) = 2；E(Y) = 0，D(Y) = 1。
步骤 2：计算 Z 的期望
Z = aX + bY + c，根据期望的线性性质，E(Z) = aE(X) + bE(Y) + c。将 E(X) = 1，E(Y) = 0 代入，得到 E(Z) = a * 1 + b * 0 + c = a + c。根据题意，E(Z) = 5，因此 a + c = 5。
步骤 3：计算 Z 的方差
根据方差的性质，D(Z) = a^2D(X) + b^2D(Y)。将 D(X) = 2，D(Y) = 1 代入，得到 D(Z) = a^2 * 2 + b^2 * 1 = 2a^2 + b^2。根据题意，D(Z) = 9，因此 2a^2 + b^2 = 9。
步骤 4：求解 a, b, c
根据步骤 2 和步骤 3，我们得到两个方程：
1. a + c = 5
2. 2a^2 + b^2 = 9
通过代入法或消元法求解 a, b, c。首先，从方程 1 可以得到 c = 5 - a。将 c 的表达式代入方程 2，得到 2a^2 + b^2 = 9。通过尝试给定的选项，可以发现当 a = 2, b = -1, c = 3 时，满足上述两个方程。
由题意可知，X 服从正态分布 N(1, 2)，Y 服从正态分布 N(0, 1)。因此，E(X) = 1，D(X) = 2；E(Y) = 0，D(Y) = 1。
步骤 2：计算 Z 的期望
Z = aX + bY + c，根据期望的线性性质，E(Z) = aE(X) + bE(Y) + c。将 E(X) = 1，E(Y) = 0 代入，得到 E(Z) = a * 1 + b * 0 + c = a + c。根据题意，E(Z) = 5，因此 a + c = 5。
步骤 3：计算 Z 的方差
根据方差的性质，D(Z) = a^2D(X) + b^2D(Y)。将 D(X) = 2，D(Y) = 1 代入，得到 D(Z) = a^2 * 2 + b^2 * 1 = 2a^2 + b^2。根据题意，D(Z) = 9，因此 2a^2 + b^2 = 9。
步骤 4：求解 a, b, c
根据步骤 2 和步骤 3，我们得到两个方程：
1. a + c = 5
2. 2a^2 + b^2 = 9
通过代入法或消元法求解 a, b, c。首先，从方程 1 可以得到 c = 5 - a。将 c 的表达式代入方程 2，得到 2a^2 + b^2 = 9。通过尝试给定的选项，可以发现当 a = 2, b = -1, c = 3 时，满足上述两个方程。