15.设随机变量X服从区间(-π，π)上的均匀分布，Y=sinX，则Cov(X，Y)=____.

考查要点：本题主要考查协方差的计算，涉及均匀分布的性质、奇偶函数的积分特性以及分部积分法的应用。

解题核心思路：

1. 利用对称性简化计算：由于X在对称区间$(-\pi, \pi)$上服从均匀分布，其期望$E[X]=0$；而$Y=\sin X$是奇函数，在对称区间上的期望$E[Y]=0$。
2. 计算$E[XY]$：通过分部积分法计算积分$\int_{-\pi}^{\pi} x \sin x \, dx$，结合奇偶函数的积分性质简化运算。
3. 协方差公式：直接代入协方差公式$\text{Cov}(X,Y)=E[XY]-E[X]E[Y]$。

破题关键点：

• 对称性直接得出$E[X]$和$E[Y]$为0。
• 分部积分法处理$E[XY]$的积分，注意积分结果的简化。

步骤1：计算$E[X]$
由于X服从区间$(-\pi, \pi)$上的均匀分布，其概率密度函数为：
$f_X(x) = \frac{1}{2\pi}, \quad x \in (-\pi, \pi)$
由对称性可知：
$E[X] = \int_{-\pi}^{\pi} x \cdot \frac{1}{2\pi} \, dx = 0$

步骤2：计算$E[Y]$
$Y = \sin X$，而$\sin x$是奇函数，在对称区间$(-\pi, \pi)$上的积分结果为0：
$E[Y] = E[\sin X] = \int_{-\pi}^{\pi} \sin x \cdot \frac{1}{2\pi} \, dx = 0$

步骤3：计算$E[XY]$
需计算：
$E[XY] = E[X \sin X] = \int_{-\pi}^{\pi} x \sin x \cdot \frac{1}{2\pi} \, dx$
分部积分法：
设$u = x$，$dv = \sin x \, dx$，则$du = dx$，$v = -\cos x$，得：
$\begin{aligned}\int x \sin x \, dx &= -x \cos x + \int \cos x \, dx \\&= -x \cos x + \sin x + C\end{aligned}$
代入上下限$[-\pi, \pi]$：
$\begin{aligned}\int_{-\pi}^{\pi} x \sin x \, dx &= \left[ -x \cos x + \sin x \right]_{-\pi}^{\pi} \\&= \left( -\pi \cos \pi + \sin \pi \right) - \left( -(-\pi) \cos(-\pi) + \sin(-\pi) \right) \\&= \left( \pi + 0 \right) - \left( \pi + 0 \right) \\&= 2\pi\end{aligned}$
因此：
$E[XY] = \frac{1}{2\pi} \cdot 2\pi = 1$

步骤4：计算协方差
根据协方差公式：
$\text{Cov}(X, Y) = E[XY] - E[X]E[Y] = 1 - 0 \cdot 0 = 1$