题目
设随机变量 X 服从正态分布 N (2, 4) , Y 服从二项分布 B (10, 0.1) , X 与 Y 相互独立,求 D ( X + 3 Y ).
设随机变量 X 服从正态分布 N (2, 4) , Y 服从二项分布 B (10, 0.1) , X 与 Y 相互独立,求 D ( X + 3 Y ).
题目解答
答案
解:因为 
,所以 
.
又 X 与 Y 相互独立,故 D ( X + 3 Y )= DX +9 DY =4+8.1=12.1.
解析
步骤 1：确定随机变量 X 和 Y 的方差
- 随机变量 X 服从正态分布 N(2, 4)，其方差为 4。
- 随机变量 Y 服从二项分布 B(10, 0.1)，其方差为 $10 \times 0.1 \times (1 - 0.1) = 0.9$。
步骤 2：计算 D(X + 3Y)
- 由于 X 与 Y 相互独立，根据方差的性质，D(X + 3Y) = D(X) + D(3Y)。
- D(3Y) = $3^2 \times D(Y) = 9 \times 0.9 = 8.1$。
- 因此，D(X + 3Y) = D(X) + D(3Y) = 4 + 8.1 = 12.1。
- 随机变量 X 服从正态分布 N(2, 4)，其方差为 4。
- 随机变量 Y 服从二项分布 B(10, 0.1)，其方差为 $10 \times 0.1 \times (1 - 0.1) = 0.9$。
步骤 2：计算 D(X + 3Y)
- 由于 X 与 Y 相互独立，根据方差的性质，D(X + 3Y) = D(X) + D(3Y)。
- D(3Y) = $3^2 \times D(Y) = 9 \times 0.9 = 8.1$。
- 因此，D(X + 3Y) = D(X) + D(3Y) = 4 + 8.1 = 12.1。