某企业生产的袋装食品采用自动打包机包装,每袋标准重量为 100克。现从某天 生产的一批产品中按重复抽样随机抽取 50包进行检查,测得样本均值为:X 101.32 克,样本标准差为:s 1.634克。假定食品包重服从正态分布,Z°.°52 1.96,Ze。5 1.64, 0.05,要求:(1) 确定该种食品平均重量95%的置信区间。(10分)

考查要点：本题主要考查大样本条件下均值的置信区间估计和假设检验的应用。
解题思路：

1. 置信区间：利用样本均值和样本标准差，结合大样本特性（n≥30），采用Z分布计算置信区间。
2. 假设检验：通过构造Z检验统计量，判断样本均值与标准值（100克）是否存在显著差异。
   关键点：

• 大样本条件下，标准差用样本标准差代替总体标准差，使用Z分布。
• 双侧检验时，需注意临界值的选择（如Z₀.₀₂₅=1.96）。

第（1）题：确定95%置信区间

确定置信水平与临界值

置信水平为95%，对应双侧检验的临界值为 Z₀.₀₂₅=1.96。

计算标准误差

标准误差公式为：
$\text{标准误差} = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{1.634}{\sqrt{50}} \approx 0.231$

计算边际误差

边际误差公式为：
$\text{边际误差} = Z_{\alpha/2} \times \text{标准误差} = 1.96 \times 0.231 \approx 0.453$

构造置信区间

置信区间为：
$\bar{X} \pm \text{边际误差} = 101.32 \pm 0.453 \quad \Rightarrow \quad (100.867, 101.773)$

第（2）题：假设检验

建立假设

• 原假设：$H_0: \mu = 100$（重量符合标准）
• 备择假设：$H_1: \mu \neq 100$（重量不符合标准）

计算检验统计量

Z检验统计量公式为：
$Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{s/\sqrt{n}} = \frac{101.32 - 100}{1.634/\sqrt{50}} \approx 5.712$

确定拒绝域

双侧检验临界值为 ±1.96，因 $|Z| = 5.712 > 1.96$，落入拒绝域。

作出决策

拒绝原假设，认为该批食品重量不符合标准要求。