题目
.UNDUND下UNDUNDUNDUND全UND分UND,UNDUNDUNDUND角::-|||-(5) (y(e)^x-(e)^-y)dx+(x(e)^-y+(e)^x)dy=0;
题目解答
答案
解析
步骤 1：验证方程是否为全微分方程
首先，我们验证给定的方程是否为全微分方程。全微分方程的条件是：$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$，其中$M = y{e}^{x}-{e}^{-y}$，$N = x{e}^{-y}+{e}^{x}$。
计算$\frac{\partial M}{\partial y}$和$\frac{\partial N}{\partial x}$：
$\frac{\partial M}{\partial y} = {e}^{x} + {e}^{-y}$
$\frac{\partial N}{\partial x} = {e}^{-y} + {e}^{x}$
由于$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$，所以方程是全微分方程。
步骤 2：求解全微分方程
由于方程是全微分方程，我们可以找到一个函数$F(x,y)$，使得$F_x = M$，$F_y = N$。即：
$F_x = y{e}^{x}-{e}^{-y}$
$F_y = x{e}^{-y}+{e}^{x}$
对$F_x$关于$x$积分，得到$F(x,y)$：
$F(x,y) = \int (y{e}^{x}-{e}^{-y}) dx = y{e}^{x} - x{e}^{-y} + g(y)$
其中$g(y)$是关于$y$的任意函数。
对$F_y$关于$y$积分，得到$F(x,y)$：
$F(x,y) = \int (x{e}^{-y}+{e}^{x}) dy = -x{e}^{-y} + y{e}^{x} + h(x)$
其中$h(x)$是关于$x$的任意函数。
由于$F(x,y)$是唯一的，所以$g(y) = h(x) = C$，其中$C$是常数。
步骤 3：写出方程的解
将$g(y)$和$h(x)$代入$F(x,y)$，得到方程的解：
$F(x,y) = y{e}^{x} - x{e}^{-y} + C$
首先，我们验证给定的方程是否为全微分方程。全微分方程的条件是：$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$，其中$M = y{e}^{x}-{e}^{-y}$，$N = x{e}^{-y}+{e}^{x}$。
计算$\frac{\partial M}{\partial y}$和$\frac{\partial N}{\partial x}$：
$\frac{\partial M}{\partial y} = {e}^{x} + {e}^{-y}$
$\frac{\partial N}{\partial x} = {e}^{-y} + {e}^{x}$
由于$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$，所以方程是全微分方程。
步骤 2：求解全微分方程
由于方程是全微分方程，我们可以找到一个函数$F(x,y)$，使得$F_x = M$，$F_y = N$。即：
$F_x = y{e}^{x}-{e}^{-y}$
$F_y = x{e}^{-y}+{e}^{x}$
对$F_x$关于$x$积分，得到$F(x,y)$：
$F(x,y) = \int (y{e}^{x}-{e}^{-y}) dx = y{e}^{x} - x{e}^{-y} + g(y)$
其中$g(y)$是关于$y$的任意函数。
对$F_y$关于$y$积分，得到$F(x,y)$：
$F(x,y) = \int (x{e}^{-y}+{e}^{x}) dy = -x{e}^{-y} + y{e}^{x} + h(x)$
其中$h(x)$是关于$x$的任意函数。
由于$F(x,y)$是唯一的，所以$g(y) = h(x) = C$，其中$C$是常数。
步骤 3：写出方程的解
将$g(y)$和$h(x)$代入$F(x,y)$，得到方程的解：
$F(x,y) = y{e}^{x} - x{e}^{-y} + C$