题目
(23-24)5.设X_(1),X_(2),...,X_(n)是来自总体Xsim N(mu,sigma^2)的样本，overline(X),S分别是样本均值和样本标准差，则下列结论正确的是（）A. 2X_(2)-X_(1)sim N(mu,sigma^2)B. (n(overline(X)-mu)^2)/(S^2)sim F(1,n-1)C. (S^2)/(sigma^2)sim chi^2(n-1)D. (overline(X)-mu)/(S)sim t(n-1)
(23-24)5.设$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$是来自总体$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$的样本，$\overline{X},S$分别是样本均值和样本标准差，则下列结论正确的是（）
A. $2X_{2}-X_{1}\sim N(\mu,\sigma^{2})$
B. $\frac{n(\overline{X}-\mu)^{2}}{S^{2}}\sim F(1,n-1)$
C. $\frac{S^{2}}{\sigma^{2}}\sim \chi^{2}(n-1)$
D. $\frac{\overline{X}-\mu}{S}\sim t(n-1)$
题目解答
答案
B. $\frac{n(\overline{X}-\mu)^{2}}{S^{2}}\sim F(1,n-1)$
解析
步骤 1：分析选项A
$2X_2 - X_1$ 的期望为 $2E(X_2) - E(X_1) = 2\mu - \mu = \mu$，方差为 $4Var(X_2) + Var(X_1) = 4\sigma^2 + \sigma^2 = 5\sigma^2$，故服从 $N(\mu, 5\sigma^2)$，错误。
步骤 2：分析选项B
由 $\frac{\overline{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0,1)$ 得 $\frac{n(\overline{X} - \mu)^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(1)$，且 $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$，两式比值符合 $F(1, n-1)$ 分布，正确。
步骤 3：分析选项C
$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$，但 $\frac{S^2}{\sigma^2}$ 服从自由度为 $n-1$ 的卡方分布除以 $n-1$，错误。
步骤 4：分析选项D
$\frac{\overline{X} - \mu}{S/\sqrt{n}} \sim t(n-1)$，但 $\frac{\overline{X} - \mu}{S}$ 需除以 $\sqrt{n}$ 才服从 $t(n-1)$，错误。
$2X_2 - X_1$ 的期望为 $2E(X_2) - E(X_1) = 2\mu - \mu = \mu$，方差为 $4Var(X_2) + Var(X_1) = 4\sigma^2 + \sigma^2 = 5\sigma^2$，故服从 $N(\mu, 5\sigma^2)$，错误。
步骤 2：分析选项B
由 $\frac{\overline{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0,1)$ 得 $\frac{n(\overline{X} - \mu)^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(1)$，且 $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$，两式比值符合 $F(1, n-1)$ 分布，正确。
步骤 3：分析选项C
$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$，但 $\frac{S^2}{\sigma^2}$ 服从自由度为 $n-1$ 的卡方分布除以 $n-1$，错误。
步骤 4：分析选项D
$\frac{\overline{X} - \mu}{S/\sqrt{n}} \sim t(n-1)$，但 $\frac{\overline{X} - \mu}{S}$ 需除以 $\sqrt{n}$ 才服从 $t(n-1)$，错误。