设 hat(theta)_1, hat(theta)_2 是参数 theta 的两个相互独立的无偏估计量，且 D(hat(theta)_1)= 2D(hat(theta)_2) 。使 k_1hat(theta)_1 + k_2hat(theta)_2 也是 theta 的无偏估计量，并且在所有这样形状的估计量中方差最小的 k_1 和 k_2 为()。A. k_1 = (5)/(6), k_2 = (1)/(6)B. k_1 = (2)/(3), k_2 = (1)/(3)C. k_1 = (1)/(3), k_2 = (2)/(3)D. k_1 = (1)/(6), k_2 = (5)/(6)

考查要点：本题主要考查无偏估计量的线性组合及其方差最小化的条件。需要结合无偏性条件和方差公式，通过优化方法找到最优系数。

解题核心思路：

1. 无偏性条件：线性组合的系数之和必须为1。
2. 方差公式：利用独立估计量的方差叠加性质，构造方差表达式。
3. 优化方法：通过求导找到方差最小值对应的系数。

破题关键点：

• 将方差表示为单一变量函数，通过求导确定极值点。
• 验证二阶导数确认最小值。

无偏性条件

设线性组合 $k_1\hat{\theta}_1 + k_2\hat{\theta}_2$ 为无偏估计量，则需满足：
$E(k_1\hat{\theta}_1 + k_2\hat{\theta}_2) = \theta \implies k_1 + k_2 = 1.$

方差表达式

由于 $\hat{\theta}_1$ 和 $\hat{\theta}_2$ 独立，方差为：
$D(k_1\hat{\theta}_1 + k_2\hat{\theta}_2) = k_1^2 D(\hat{\theta}_1) + k_2^2 D(\hat{\theta}_2).$
已知 $D(\hat{\theta}_1) = 2D(\hat{\theta}_2)$，设 $D(\hat{\theta}_2) = \sigma^2$，则：
$D(k_1\hat{\theta}_1 + k_2\hat{\theta}_2) = 2k_1^2\sigma^2 + k_2^2\sigma^2.$
忽略正数 $\sigma^2$，需最小化：
$Q = 2k_1^2 + k_2^2.$

代入约束条件

由 $k_2 = 1 - k_1$，代入得：
$Q = 2k_1^2 + (1 - k_1)^2 = 3k_1^2 - 2k_1 + 1.$

求导找极值

对 $k_1$ 求导并令导数为零：
$\frac{dQ}{dk_1} = 6k_1 - 2 = 0 \implies k_1 = \frac{1}{3}.$
对应 $k_2 = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$。

验证最小值

二阶导数 $\frac{d^2Q}{dk_1^2} = 6 > 0$，说明此时方差取得最小值。