题目

不定积分 int (ln^2 x)/(x) dx = ____

不定积分 $\int \frac{\ln^2 x}{x} dx = \_\_\_\_$

题目解答

答案

我们来求不定积分：

$\int \frac{\ln^2 x}{x} \, dx$

第一步：观察被积函数

被积函数是：

$\frac{\ln^2 x}{x}$

注意到分子是 $\ln^2 x$，分母是 $x$，而 $\frac{1}{x}$ 正好是 $\ln x$ 的导数，这提示我们使用换元法。

第二步：换元法

设：

$u = \ln x$

那么：

$\frac{du}{dx} = \frac{1}{x} \quad \Rightarrow \quad dx = x \, du$

同时，$\ln^2 x = u^2$，所以原积分变为：

$\int \frac{u^2}{x} \cdot x \, du = \int u^2 \, du$

第三步：积分

$\int u^2 \, du = \frac{u^3}{3} + C$

第四步：换回原变量

因为 $u = \ln x$，所以：

$\frac{u^3}{3} + C = \frac{(\ln x)^3}{3} + C$

最终答案：

$\boxed{\int \frac{\ln^2 x}{x} \, dx = \frac{(\ln x)^3}{3} + C}$

解析

本题考查不定积分的计算，解题思路是通过换元法将复杂的积分转化为简单的幂函数积分。

  1. 观察被积函数$\frac{\ln^2 x}{x}$，发现$\frac{1}{x}$是$\ln x$的导数，所以考虑使用换元法。
  2. 设$u = \ln x$，对$u$求导，根据求导公式$(\ln x)^\prime=\frac{1}{x}$，可得$\frac{du}{dx} = \frac{1}{x}$，变形得到$dx = x \, du$。
  3. 将$u = \ln x$和$dx = x \, du$代入原积分$\int \frac{\ln^2 x}{x} dx$中，因为$\ln^2 x = u^2$，所以原积分变为$\int \frac{u^2}{x} \cdot x \, du$，$x$约掉后得到$\int u^2 \, du$。
  4. 根据幂函数积分公式$\int x^n dx=\frac{x^{n + 1}}{n + 1}+C$（$n\neq -1$），对$\int u^2 \, du$进行积分，可得$\int u^2 \, du = \frac{u^3}{3} + C$。
  5. 最后将$u = \ln x$代回$\frac{u^3}{3} + C$，得到$\frac{(\ln x)^3}{3} + C$。