题目

6. (3.3分) 设A,B,C为三个随机事件，则overline(overline{AB)cupoverline(AC)cupoverline(BC)}表示A,B,C三个事件中（）. A 恰好发生两个 B 至少发生一个 C 恰好发生一个 D 至少发生两个

6. (3.3分) 设A,B,C为三个随机事件，则$\overline{\overline{AB}\cup\overline{AC}\cup\overline{BC}}$表示A,B,C三个事件中（）. A 恰好发生两个 B 至少发生一个 C 恰好发生一个 D 至少发生两个

题目解答

答案

设 $A$、$B$、$C$ 为三个随机事件，考虑表达式 $\overline{\overline{AB} \cup \overline{AC} \cup \overline{BC}}$。

  1. 由德摩根定律，$\overline{\overline{AB} \cup \overline{AC} \cup \overline{BC}} = \overline{\overline{AB}} \cap \overline{\overline{AC}} \cap \overline{\overline{BC}} = AB \cap AC \cap BC$。
  2. $AB \cap AC \cap BC$ 表示 $A$、$B$、$C$ 三事件同时发生，或至少两事件发生（因 $A$、$B$、$C$ 中任意两事件发生时，其余事件可发生或不发生）。
  3. 但注意到，若仅一事件发生（如 $A$ 发生，$B$、$C$ 不发生），则 $AB$、$AC$ 均不发生，不符合条件。
  4. 故该表达式表示 $A$、$B$、$C$ 中至少发生两个事件。

答案： $\boxed{D}$

解析

本题考查随机事件的运算以及德摩根定律的应用。解题的关键在于熟练运用德摩根定律对给定的复杂事件表达式进行化简，然后分析化简后表达式所代表的事件含义。

  1. 运用德摩根定律化简表达式：
    • 德摩根定律指出，对于任意两个事件$M$和$N$，有$\overline{M\cup N}=\overline{M}\cap\overline{N}$，$\overline{M\cap N}=\overline{M}\cup\overline{N}$。
    • 对于$\overline{\overline{AB} \cup \overline{AC} \cup \overline{BC}}$，根据德摩根定律可得：$\overline{\overline{AB} \cup \overline{AC} \cup \overline{BC}}=\overline{\overline{AB}}\cap\overline{\overline{AC}}\cap\overline{\overline{BC}}$。
    • 又因为$\overline{\overline{M}} = M$，所以$\overline{\overline{AB}}\cap\overline{\overline{AC}}\cap\overline{\overline{BC}}=AB\cap AC\cap BC$。
  2. 分析化简后表达式的含义：
    • $AB$表示事件$A$和事件$B$同时发生，$AC$表示事件$A$和事件$C$同时发生，$BC$表示事件$B$和事件$C$同时发生。
    • 那么$AB\cap AC\cap BC$表示事件$A$、$B$、$C$中至少有两个事件同时发生。
    • 例如，当$A$、$B$发生，$C$不发生时，$AB$发生，$AC$不发生，$BC$不发生，此时$AB\cap AC\cap BC$不成立；当$A$、$B$、$C$都发生时，$AB$、$AC$、$BC$都发生，$AB\cap AC\cap BC$成立；当$A$、$B$发生，$C$也发生时，同样$AB\cap AC\cap BC$成立。所以$AB\cap AC\cap BC$表示$A$、$B$、$C$中至少发生两个事件。