题目
9.设总体X的分布函数为-|||-(x;lambda )= { ^-2, xgt lambda 0, .-|||-,-|||-其中 gt 0 是未知参数,X1,X 2,···,Xn为来自总体X的简单随机样本,求λ的矩估计量.-|||-10
题目解答
答案
解析
步骤 1：求总体的概率密度函数
根据给定的分布函数 $F(x;\lambda )=$ $\left \{ \begin{matrix} 1-{\lambda }^{2}{x}^{-2},\quad x\gt \lambda \\ 0,\end{matrix} \right.$，我们可以通过求导得到概率密度函数 $f(x)$。
$$f(x) = \frac{d}{dx}F(x;\lambda) = \frac{d}{dx}(1-\lambda^2x^{-2}) = 2\lambda^2x^{-3}$$
步骤 2：求总体的一阶矩
总体的一阶矩即总体的期望值 $E(X)$，可以通过积分求得。
$$E(X) = \int_{\lambda}^{+\infty} x \cdot f(x) dx = \int_{\lambda}^{+\infty} x \cdot 2\lambda^2x^{-3} dx = 2\lambda^2 \int_{\lambda}^{+\infty} x^{-2} dx$$
$$= 2\lambda^2 \left[-x^{-1}\right]_{\lambda}^{+\infty} = 2\lambda^2 \left(0 - (-\lambda^{-1})\right) = 2\lambda$$
步骤 3：求矩估计量
根据矩估计法，总体的一阶矩 $E(X)$ 等于样本的一阶矩 $\overline{X}$，即 $E(X) = \overline{X}$。因此，我们有：
$$2\lambda = \overline{X}$$
解得：
$$\lambda = \frac{\overline{X}}{2}$$
根据给定的分布函数 $F(x;\lambda )=$ $\left \{ \begin{matrix} 1-{\lambda }^{2}{x}^{-2},\quad x\gt \lambda \\ 0,\end{matrix} \right.$，我们可以通过求导得到概率密度函数 $f(x)$。
$$f(x) = \frac{d}{dx}F(x;\lambda) = \frac{d}{dx}(1-\lambda^2x^{-2}) = 2\lambda^2x^{-3}$$
步骤 2：求总体的一阶矩
总体的一阶矩即总体的期望值 $E(X)$，可以通过积分求得。
$$E(X) = \int_{\lambda}^{+\infty} x \cdot f(x) dx = \int_{\lambda}^{+\infty} x \cdot 2\lambda^2x^{-3} dx = 2\lambda^2 \int_{\lambda}^{+\infty} x^{-2} dx$$
$$= 2\lambda^2 \left[-x^{-1}\right]_{\lambda}^{+\infty} = 2\lambda^2 \left(0 - (-\lambda^{-1})\right) = 2\lambda$$
步骤 3：求矩估计量
根据矩估计法，总体的一阶矩 $E(X)$ 等于样本的一阶矩 $\overline{X}$，即 $E(X) = \overline{X}$。因此，我们有：
$$2\lambda = \overline{X}$$
解得：
$$\lambda = \frac{\overline{X}}{2}$$