题目
若微分方程 y'' + py' + qy = 0 (p, q ( 均为实常数)) 的系数满足 m^2 + pm + q = 0，则该方程有特解()。 A y = x^m B y = sin mx C y = e^mx D y = e^-mx
若微分方程 $y'' + py' + qy = 0 (p, q \text{ 均为实常数})$ 的系数满足 $m^2 + pm + q = 0$，则该方程有特解()。
A $y = x^m$
B $y = \sin mx$
C $y = e^{mx}$
D $y = e^{-mx}$
题目解答
答案
特征方程 $ m^2 + pm + q = 0 $ 的根对应微分方程 $ y'' + py' + qy = 0 $ 的解。
- **选项A：$ y = x^m $**
代入后得到 $ x^{m-2} [m(m-1) + p m x + q x^2] = 0 $，需满足特定条件，不恒成立。
- **选项B：$ y = \sin mx $**
代入后得 $ \sin mx (-m^2 + q) + p m \cos mx = 0 $，需 $ p = 0 $ 且 $ q = m^2 $，条件限制过严。
- **选项C：$ y = e^{mx} $**
代入后化简为 $ e^{mx} (m^2 + pm + q) = 0 $，满足原条件。
- **选项D：$ y = e^{-mx} $**
代入后得 $ e^{-mx} (m^2 - pm + q) = 0 $，与原条件不符，除非 $ p = 0 $。
**答案：** $\boxed{C}$
解析
步骤 1：理解微分方程的特征方程
微分方程 $y'' + py' + qy = 0$ 的特征方程是 $m^2 + pm + q = 0$。特征方程的根对应微分方程的解。
步骤 2：分析选项A
选项A：$y = x^m$。将 $y = x^m$ 代入微分方程，得到 $x^{m-2} [m(m-1) + p m x + q x^2] = 0$。这需要满足特定条件，不恒成立。
步骤 3：分析选项B
选项B：$y = \sin mx$。将 $y = \sin mx$ 代入微分方程，得到 $\sin mx (-m^2 + q) + p m \cos mx = 0$。这需要 $p = 0$ 且 $q = m^2$，条件限制过严。
步骤 4：分析选项C
选项C：$y = e^{mx}$。将 $y = e^{mx}$ 代入微分方程，得到 $e^{mx} (m^2 + pm + q) = 0$。由于 $m^2 + pm + q = 0$，所以 $e^{mx}$ 是微分方程的解。
步骤 5：分析选项D
选项D：$y = e^{-mx}$。将 $y = e^{-mx}$ 代入微分方程，得到 $e^{-mx} (m^2 - pm + q) = 0$。这与原条件不符，除非 $p = 0$。
微分方程 $y'' + py' + qy = 0$ 的特征方程是 $m^2 + pm + q = 0$。特征方程的根对应微分方程的解。
步骤 2：分析选项A
选项A：$y = x^m$。将 $y = x^m$ 代入微分方程，得到 $x^{m-2} [m(m-1) + p m x + q x^2] = 0$。这需要满足特定条件，不恒成立。
步骤 3：分析选项B
选项B：$y = \sin mx$。将 $y = \sin mx$ 代入微分方程，得到 $\sin mx (-m^2 + q) + p m \cos mx = 0$。这需要 $p = 0$ 且 $q = m^2$，条件限制过严。
步骤 4：分析选项C
选项C：$y = e^{mx}$。将 $y = e^{mx}$ 代入微分方程，得到 $e^{mx} (m^2 + pm + q) = 0$。由于 $m^2 + pm + q = 0$，所以 $e^{mx}$ 是微分方程的解。
步骤 5：分析选项D
选项D：$y = e^{-mx}$。将 $y = e^{-mx}$ 代入微分方程，得到 $e^{-mx} (m^2 - pm + q) = 0$。这与原条件不符，除非 $p = 0$。