题目
(2). 设 (X_1 ,X_2 ,... ,X_n ) 为取自正态总体 N(mu ,sigma^2) 的样本，则以下结论不成立的是（ ）。A. (1)/(sigma ^2)sumlimits_(i=1)^n ((X_i -bar {X))^2} sim chi^2(n-1) ；B. bar (X) 与 sumlimits_(i=1)^n ((X_i -bar {X))^2} 独立；C. (1)/(sigma ^2)sumlimits_(i=1)^n ((X_i -mu )^2) sim chi ^2(n) ；D. bar (X) 与 sumlimits_(i=1)^n (X_i ^2) 独立。
(2). 设 $ (X_1 ,X_2 ,\cdots ,X_n ) $ 为取自正态总体 $ N(\mu ,\sigma^2) $ 的样本，则以下结论不成立的是（ ）。
A. $ \frac{1}{\sigma ^2}\sum\limits_{i=1}^n {(X_i -\bar {X})^2} \sim \chi^2(n-1) $；
B. $ \bar {X} $ 与 $ \sum\limits_{i=1}^n {(X_i -\bar {X})^2} $ 独立；
C. $ \frac{1}{\sigma ^2}\sum\limits_{i=1}^n {(X_i -\mu )^2} \sim \chi ^2(n) $；
D. $ \bar {X} $ 与 $ \sum\limits_{i=1}^n {X_i ^2} $ 独立。
题目解答
答案
D. $ \bar {X} $ 与 $ \sum\limits_{i=1}^n {X_i ^2} $ 独立。
解析
步骤 1：分析选项A
$ \frac{1}{\sigma ^2}\sum\limits_{i=1}^n {(X_i -\bar {X})^2} $ 是样本方差的无偏估计量，根据卡方分布的定义，它服从自由度为 $ n-1 $ 的卡方分布，即 $ \chi ^2(n-1) $。因此，选项A成立。
步骤 2：分析选项B
$ \bar {X} $ 是样本均值，$ \sum\limits_{i=1}^n {(X_i -\bar {X})^2} $ 是样本方差的无偏估计量。根据正态分布的性质，样本均值和样本方差是独立的。因此，选项B成立。
步骤 3：分析选项C
$ \frac{1}{\sigma ^2}\sum\limits_{i=1}^n {(X_i -\mu )^2} $ 是总体方差的无偏估计量，根据卡方分布的定义，它服从自由度为 $ n $ 的卡方分布，即 $ \chi ^2(n) $。因此，选项C成立。
步骤 4：分析选项D
$ \bar {X} $ 是样本均值，$ \sum\limits_{i=1}^n {X_i ^2} $ 是样本平方和。根据正态分布的性质，样本均值和样本平方和不是独立的。因此，选项D不成立。
$ \frac{1}{\sigma ^2}\sum\limits_{i=1}^n {(X_i -\bar {X})^2} $ 是样本方差的无偏估计量，根据卡方分布的定义，它服从自由度为 $ n-1 $ 的卡方分布，即 $ \chi ^2(n-1) $。因此，选项A成立。
步骤 2：分析选项B
$ \bar {X} $ 是样本均值，$ \sum\limits_{i=1}^n {(X_i -\bar {X})^2} $ 是样本方差的无偏估计量。根据正态分布的性质，样本均值和样本方差是独立的。因此，选项B成立。
步骤 3：分析选项C
$ \frac{1}{\sigma ^2}\sum\limits_{i=1}^n {(X_i -\mu )^2} $ 是总体方差的无偏估计量，根据卡方分布的定义，它服从自由度为 $ n $ 的卡方分布，即 $ \chi ^2(n) $。因此，选项C成立。
步骤 4：分析选项D
$ \bar {X} $ 是样本均值，$ \sum\limits_{i=1}^n {X_i ^2} $ 是样本平方和。根据正态分布的性质，样本均值和样本平方和不是独立的。因此，选项D不成立。