题目

设 f(x,y,z)=x^2+(y^2+z^2)(1-x)^3.(1) 计算 f 的驻点.(2) 求 f 在 Sigma 上的最小值，其中，Sigma 是 (x,y,z) mid |x| leqslant 2, y^2+z^2 leqslant 4 的边界.(3) 求 f 在椭球 x^2+(y^2)/(2)+(z^2)/(3) leqslant 1 上的最小值.

设 $f(x,y,z)=x^{2}+(y^{2}+z^{2})(1-x)^{3}$. (1) 计算 $f$ 的驻点. (2) 求 $f$ 在 $\Sigma$ 上的最小值，其中，$\Sigma$ 是 $\{(x,y,z) \mid |x| \leqslant 2, y^{2}+z^{2} \leqslant 4\}$ 的边界. (3) 求 $f$ 在椭球 $x^{2}+\frac{y^{2}}{2}+\frac{z^{2}}{3} \leqslant 1$ 上的最小值.

题目解答

答案

(1) 计算偏导数并令其为零，得到唯一驻点 $(0,0,0)$。
(2) 在边界 $\Sigma$ 上，通过分析不同情况（$x=2$，$x=-2$，$y^2+z^2=4$），发现最小值为 $0$。
(3) 在椭球内，驻点 $(0,0,0)$ 的函数值为 $0$，边界上最小值为 $1$，故最小值为 $0$。

答案：
(1) 驻点：$(0,0,0)$
(2) 最小值：$\boxed{0}$
(3) 最小值：$\boxed{0}$