题目

设_(1),(X)_(2),... ,(X)_(10))为来自总体X的样本，_(1),(X)_(2),... ,(X)_(10))，则样本均值_(1),(X)_(2),... ,(X)_(10))的期望和方差分别为（）A.2；5B.2；0.5C.0.2；5D.0.2；0.5

设 $(X_1,X_2,\dots,X_{10})$ 为来自总体X的样本， $E(X)=2,D(X)=5$ ，则样本均值 $\overline{X}$ 的期望和方差分别为（）

A.2；5

B.2；0.5

C.0.2；5

D.0.2；0.5

题目解答

答案

来自总体X的样本 $(X_1,X_2,\dots,X_{10})$ 相互独立且都服从总体X的分布，则样本均值的数学期望为 $E\left(\overline{X}\right)=E\left(\frac{1}{10}\sum_{i=1}^{10}X_i\right)=\frac{1}{10}\sum_{i=1}^{10}E\left(X_i\right)=E\left(X\right)=2$ ，样本均值的方差为 $D\left(\overline{X}\right)=D\left(\frac{1}{10}\sum_{i=1}^{10}X_i\right)=\frac{1}{100}\sum_{i=1}^{10}D\left(X_i\right)=\frac{1}{10}D\left(X\right)=\frac{5}{10}=0.5$ ，因此选择B。

解析

步骤 1：计算样本均值的期望
样本均值的期望等于总体均值，即$E(\overline{X}) = E(X) = 2$。

步骤 2：计算样本均值的方差
样本均值的方差等于总体方差除以样本容量，即$D(\overline{X}) = \frac{D(X)}{n} = \frac{5}{10} = 0.5$。