题目
8.单选题连续型随机变量概率及概率密度的计算：设连续型随机变量X的分布函数为F(x)，则P(X≤a)=____.在f(x)的连续点x处，f(x)=（）.A F'(a),F'(x)B 1-F'(a),1-F'(x)C 1-F(a),1-F(x)D F(a),F'(x)
8.单选题
连续型随机变量概率及概率密度的计算：
设连续型随机变量X的分布函数为F(x)，则P(X≤a)=____.在f(x)的连续点x处，f(x)=（）.
A F'(a),F'(x)
B 1-F'(a),1-F'(x)
C 1-F(a),1-F(x)
D F(a),F'(x)
题目解答
答案
设连续型随机变量 $X$ 的分布函数为 $F(x)$，则：
- $P(X \leq a) = F(a)$，由分布函数定义直接得出。
- 在 $f(x)$ 的连续点 $x$ 处，$f(x) = F'(x)$，因为概率密度函数是分布函数的导数。
选项分析：
- A：$F'(a)$，$F'(x)$（概率应为 $F(a)$，错误）
- B：$1 - F'(a)$，$1 - F'(x)$（概率应为 $F(a)$，错误）
- C：$1 - F(a)$，$1 - F(x)$（概率应为 $F(a)$，错误）
- D：$F(a)$，$F'(x)$（正确）
答案： $\boxed{D}$
解析
本题主要考查连续型随机变量概率及概率密度的计算，涉及分布函数和概率密度函数的基本概念及关系。解题思路如下：
- 计算 $P(X\leq a)$ 的值：
- 根据连续型随机变量分布函数的定义，分布函数 $F(x)$ 表示随机变量 $X$ 取值小于等于 $x$ 的概率，即 $F(x)=P(X\leq x)$。
- 那么当 $x = a$ 时，$P(X\leq a)=F(a)$。
- 确定在 $f(x)$ 的连续点 $x$ 处 $f(x)$ 的表达式：
- 对于连续型随机变量，概率密度函数 $f(x)$ 与分布函数 $F(x)$ 之间存在导数关系。
- 由概率密度函数的定义可知，在 $f(x)$ 的连续点 $x$ 处，概率密度函数 $f(x)$ 是分布函数 $F(x)$ 的导数，即 $f(x)=F^{\prime}(x)$。
- 分析各个选项：
- 选项A中，$P(X\leq a)$ 应为 $F(a)$ 而不是 $F^{\prime}(a)$，所以选项A错误。
- 选项B中，$P(X\leq a)$ 应为 $F(a)$ 而不是 $1 - F^{\prime}(a)$，所以选项B错误。
- 选项C中，$P(X\leq a)$ 应为 $F(a)$ 而不是 $1 - F(a)$，所以选项C错误。
- 选项D中，$P(X\leq a)=F(a)$ 且在 $f(x)$ 的连续点 $x$ 处 $f(x)=F^{\prime}(x)$，所以选项D正确。