题目
设总体 X sim N(mu, sigma^2)，X_1, X_2, X_3 是来自 X 的样本，则最有效的估计量是【 】。A. hat(mu)_1 = (1)/(5)X_1 + (3)/(10)X_2 + (1)/(2)X_3B. hat(mu)_2 = (1)/(3)X_1 + (1)/(4)X_2 + (5)/(12)X_3C. hat(mu)_3 = (1)/(3)X_1 + (1)/(6)X_2 + (1)/(2)X_3D. hat(mu)_4 = (1)/(3)X_1 + (1)/(3)X_2 + (1)/(3)X_3
设总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，$X_1, X_2, X_3$ 是来自 $X$ 的样本，则最有效的估计量是【 】。
A. $\hat{\mu}_1 = \frac{1}{5}X_1 + \frac{3}{10}X_2 + \frac{1}{2}X_3$
B. $\hat{\mu}_2 = \frac{1}{3}X_1 + \frac{1}{4}X_2 + \frac{5}{12}X_3$
C. $\hat{\mu}_3 = \frac{1}{3}X_1 + \frac{1}{6}X_2 + \frac{1}{2}X_3$
D. $\hat{\mu}_4 = \frac{1}{3}X_1 + \frac{1}{3}X_2 + \frac{1}{3}X_3$
题目解答
答案
D. $\hat{\mu}_4 = \frac{1}{3}X_1 + \frac{1}{3}X_2 + \frac{1}{3}X_3$
解析
步骤 1：计算各估计量的方差
- $\hat{\mu}_1$：$\frac{19}{50}\sigma^2 \approx 0.38\sigma^2$
- $\hat{\mu}_2$：$\frac{25}{72}\sigma^2 \approx 0.3472\sigma^2$
- $\hat{\mu}_3$：$\frac{7}{18}\sigma^2 \approx 0.3889\sigma^2$
- $\hat{\mu}_4$：$\frac{1}{3}\sigma^2 \approx 0.3333\sigma^2$
步骤 2：比较各估计量的方差
- $\hat{\mu}_1$ 的方差为 $0.38\sigma^2$
- $\hat{\mu}_2$ 的方差为 $0.3472\sigma^2$
- $\hat{\mu}_3$ 的方差为 $0.3889\sigma^2$
- $\hat{\mu}_4$ 的方差为 $0.3333\sigma^2$
步骤 3：确定方差最小的估计量
- $\hat{\mu}_4$ 的方差最小，为 $0.3333\sigma^2$，因此 $\hat{\mu}_4$ 是最有效的估计量。
- $\hat{\mu}_1$：$\frac{19}{50}\sigma^2 \approx 0.38\sigma^2$
- $\hat{\mu}_2$：$\frac{25}{72}\sigma^2 \approx 0.3472\sigma^2$
- $\hat{\mu}_3$：$\frac{7}{18}\sigma^2 \approx 0.3889\sigma^2$
- $\hat{\mu}_4$：$\frac{1}{3}\sigma^2 \approx 0.3333\sigma^2$
步骤 2：比较各估计量的方差
- $\hat{\mu}_1$ 的方差为 $0.38\sigma^2$
- $\hat{\mu}_2$ 的方差为 $0.3472\sigma^2$
- $\hat{\mu}_3$ 的方差为 $0.3889\sigma^2$
- $\hat{\mu}_4$ 的方差为 $0.3333\sigma^2$
步骤 3：确定方差最小的估计量
- $\hat{\mu}_4$ 的方差最小，为 $0.3333\sigma^2$，因此 $\hat{\mu}_4$ 是最有效的估计量。