题目
3.设总体Xsim N(theta+3,1)，theta为未知参数，X_(1),X_(2)...X_(n)是来自该总体的样本，样本均值overline(X)=(1)/(n)sum_(i=1)^nX_(i)，则theta的极大似然估计为：（）A. overline(X)B. overline(X)-1C. overline(X)-2D. overline(X)-3
3.设总体$X\sim N(\theta+3,1)$，$\theta$为未知参数，$X_{1},X_{2}...X_{n}$是来自该总体的样本，样本均值$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}$，则$\theta$的极大似然估计为：（）
A. $\overline{X}$
B. $\overline{X}-1$
C. $\overline{X}-2$
D. $\overline{X}-3$
题目解答
答案
D. $\overline{X}-3$
解析
步骤 1：理解总体分布
总体 $X$ 服从正态分布 $N(\theta + 3, 1)$，其中 $\theta$ 是未知参数，总体的均值为 $\theta + 3$，方差为 $1$。
步骤 2：样本均值的性质
样本均值 $\overline{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}$ 是总体均值 $\theta + 3$ 的无偏估计，即 $E(\overline{X}) = \theta + 3$。
步骤 3：极大似然估计
极大似然估计是通过最大化似然函数来估计参数。对于正态分布，样本均值 $\overline{X}$ 是总体均值 $\theta + 3$ 的极大似然估计。因此，我们有：
\[ \theta + 3 = \overline{X} \]
解得：
\[ \theta = \overline{X} - 3 \]
总体 $X$ 服从正态分布 $N(\theta + 3, 1)$，其中 $\theta$ 是未知参数，总体的均值为 $\theta + 3$，方差为 $1$。
步骤 2：样本均值的性质
样本均值 $\overline{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}$ 是总体均值 $\theta + 3$ 的无偏估计，即 $E(\overline{X}) = \theta + 3$。
步骤 3：极大似然估计
极大似然估计是通过最大化似然函数来估计参数。对于正态分布，样本均值 $\overline{X}$ 是总体均值 $\theta + 3$ 的极大似然估计。因此，我们有：
\[ \theta + 3 = \overline{X} \]
解得：
\[ \theta = \overline{X} - 3 \]