两随机变量X，Y的协方差定义为：cov（X，Y）=E（XY）-E（X）E（Y）．（1）证明：D（X+Y）=D（X）+D（Y）+2cov（X，Y）．（2）若X，Y～B（2，0.75），求cov（X，Y）的最小值．

（1）方差性质证明
本题考查方差的性质及协方差的定义。核心思路是通过展开$D(X+Y)$，结合协方差的表达式进行推导。关键点在于利用方差公式$D(Z) = E(Z^2) - [E(Z)]^2$，并将交叉项与协方差关联。

（2）协方差最小值求解
本题需结合二项分布的方差公式和方差的非负性。关键点在于通过$D(X+Y) \geq 0$建立不等式，从而求出协方差的最小值。需注意二项分布参数的代入及代数变形。

第（1）题

展开$D(X+Y)$

根据方差公式：
$D(X+Y) = E[(X+Y)^2] - [E(X+Y)]^2$
展开平方项：
$E[(X+Y)^2] = E[X^2 + 2XY + Y^2] = E(X^2) + 2E(XY) + E(Y^2)$
展开期望平方项：
$[E(X+Y)]^2 = [E(X) + E(Y)]^2 = (E(X))^2 + 2E(X)E(Y) + (E(Y))^2$

重组方差表达式

将两部分代入方差公式：
$\begin{aligned}D(X+Y) &= [E(X^2) + 2E(XY) + E(Y^2)] - [(E(X))^2 + 2E(X)E(Y) + (E(Y))^2] \\&= [E(X^2) - (E(X))^2] + [E(Y^2) - (E(Y))^2] + 2[E(XY) - E(X)E(Y)] \\&= D(X) + D(Y) + 2\text{cov}(X, Y)\end{aligned}$

第（2）题

计算二项分布的方差

已知$X, Y \sim B(2, 0.75)$，方差公式为：
$D(X) = D(Y) = n p (1-p) = 2 \times 0.75 \times 0.25 = 0.375$

建立方差关系式

根据第（1）题结论：
$D(X+Y) = D(X) + D(Y) + 2\text{cov}(X, Y) = 0.375 + 0.375 + 2\text{cov}(X, Y) = 0.75 + 2\text{cov}(X, Y)$

利用方差非负性

因方差非负，故：
$0.75 + 2\text{cov}(X, Y) \geq 0 \quad \Rightarrow \quad \text{cov}(X, Y) \geq -0.375$
因此，$\text{cov}(X, Y)$的最小值为$-0.375$。