由方程e^xy-x-y=0所确定的隐函数y=y(x)在x=0处的导数y'(0)=

考查要点：本题主要考查隐函数求导的方法，涉及复合函数求导法则和代数运算能力。

解题核心思路：

1. 确定初始条件：将$x=0$代入原方程，求出对应的$y$值。
2. 对原方程两边关于$x$求导，注意将$y$视为$x$的函数，应用链式法则和乘积法则。
3. 代入已知点$(x=0, y=1)$，解关于$y'$的方程，得到$y'(0)$的值。

破题关键点：

• 正确应用求导法则，尤其是处理$e^{xy}$项时的复合函数和乘积求导。
• 代入数值时注意化简，避免符号错误。

步骤1：求$x=0$对应的$y$值
将$x=0$代入原方程$e^{xy} - x - y = 0$，得：
$e^{0 \cdot y} - 0 - y = 0 \implies 1 - y = 0 \implies y = 1.$
因此，当$x=0$时，$y=1$。

步骤2：对原方程两边关于$x$求导
原方程为$e^{xy} - x - y = 0$，对$x$求导：

1. 对$e^{xy}$求导：
   • 外层导数为$e^{xy}$，内层对$xy$求导（乘积法则）：
     $\frac{d}{dx}(xy) = y + x \frac{dy}{dx}.$
   • 因此，$e^{xy}$的导数为：
     $e^{xy} \left( y + x \frac{dy}{dx} \right).$
2. 对$-x$求导：结果为$-1$。
3. 对$-y$求导：结果为$-\frac{dy}{dx}$。

综上，求导后方程为：
$e^{xy} \left( y + x \frac{dy}{dx} \right) - 1 - \frac{dy}{dx} = 0.$

步骤3：代入$x=0$和$y=1$，解方程
将$x=0$，$y=1$代入方程：
$e^{0 \cdot 1} \left( 1 + 0 \cdot \frac{dy}{dx} \right) - 1 - \frac{dy}{dx} = 0.$
化简得：
$1 \cdot (1 + 0) - 1 - \frac{dy}{dx} = 0 \implies 0 - \frac{dy}{dx} = 0 \implies \frac{dy}{dx} = 0.$
因此，$y'(0) = 0$。