题目

28 某公司安排3名员工出差，一共有甲乙丙丁戊5个城市，每人可以从中任选一个城市。那么，有且只有2人选择甲城市的情况有（）种。123157

28 某公司安排3名员工出差，一共有甲乙丙丁戊5个城市，每人可以从中任选一个城市。 那么，有且只有2人选择甲城市的情况有（）种。 12 3 15 7

题目解答

答案

要确定有且只有2人选择甲城市的情况数，我们可以按照以下步骤进行：

  1. 选择选择甲城市的2名员工：从3名员工中选择2名员工选择甲城市，这可以通过组合数 $\binom{3}{2}$ 来计算。组合数 $\binom{3}{2}$ 的计算公式为：
    $\binom{3}{2} = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3!}{2!1!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{2 \times 1 \times 1} = 3$
    所以，有3种方式选择2名员工选择甲城市。

  2. 选择剩余员工的城市：在2名员工选择甲城市后，还剩下1名员工，这名员工可以从中剩下的4个城市（乙、丙、丁、戊）中任选一个城市。所以，这名员工有4种选择。

  3. 计算总的情况数：将选择2名员工选择甲城市的方式数与剩余员工选择城市的方式数相乘，得到总的情况数：
    $3 \times 4 = 12$

因此，有且只有2人选择甲城市的情况有 $\boxed{12}$ 种。

解析

本题考查组合数的应用以及分步乘法计数原理。解题思路是先从$3$名员工中选出$2$名去甲城市，再让剩下的$1$名员工从除甲城市外的$4$个城市中任选一个，最后根据分步乘法计数原理计算出总的情况数。

  1. 计算从$3$名员工中选$2$名去甲城市的选法：
    从$n$个不同元素中取出$m$个元素的组合数记为$\binom{n}{m}$，其计算公式为$\binom{n}{m}=\frac{n!}{m!(n - m)!}$。
    这里$n = 3$，$m = 2$，则$\binom{3}{2}=\frac{3!}{2!(3 - 2)!}=\frac{3\times2\times1}{2\times1\times1}= 3$种。
  2. 计算剩下$1$名员工的城市选择数：
    因为已经有$2$名员工选择了甲城市，所以剩下$1$名员工可以从乙、丙、丁、戊这$4$个城市中任选一个，即有$4$种选择方法。
  3. 根据分步乘法计数原理计算总的情况数：
    分步乘法计数原理是指：完成一件事需要$n$个步骤，做第$1$步有$m_1$种不同的方法，做第$2$步有$m_2$种不同的方法……做第$n$步有$m_n$种不同的方法，那么完成这件事共有$N = m_1\times m_2\times\cdots\times m_n$种不同的方法。
    在本题中，第一步选$2$名员工去甲城市有$3$种方法，第二步选剩下$1$名员工的城市有$4$种方法，所以总的情况数为$3\times4 = 12$种。