题目
设X~N(2,4) , Φ(x)为标准正态分布的分布函数,则P(X>4) = ( ).A.Φ(1)B.1-Φ(1)C.Φ(0.5)D.1-Φ(0.5)
设X~N(2,4) , Φ(x)为标准正态分布的分布函数,则P{X>4} = ( ).
A.Φ(1)
B.1-Φ(1)
C.Φ(0.5)
D.1-Φ(0.5)
题目解答
答案
已知随机变量X服从正态分布N(2,4)，其中均值μ=2，方差σ²=4，所以标准差
要求P{X>4}，首先需要将这个概率转化为标准正态分布的概率。由于X服从N(2,4)，我们可以将X转化为标准正态变量Z，即
.
接下来，需要找到X=4对应的Z值，即
.
因此，P{X>4}可以转化为P{Z>1}。
由于Z服从标准正态分布N(0,1)，其分布函数为Φ(x)，所以
P{Z>1}=1−P{Z≤1}=1−Φ(1).
对照选项，我们发现这与选项B 1−Φ(1)相符。
故答案为：B. 1−Φ(1)。
解析
步骤 1：确定正态分布的参数
已知随机变量X服从正态分布N(2,4)，其中均值μ=2，方差σ²=4，所以标准差σ=$\sqrt{4}$=2。
步骤 2：将X转化为标准正态变量Z
由于X服从N(2,4)，我们可以将X转化为标准正态变量Z，即 $z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}=\dfrac{X-2}{2}$。
步骤 3：计算X=4对应的Z值
将X=4代入上述公式，得到 $z=\dfrac{4-2}{2}=1$。
步骤 4：将P{X>4}转化为标准正态分布的概率
P{X>4}可以转化为P{Z>1}。由于Z服从标准正态分布N(0,1)，其分布函数为Φ(x)，所以 P{Z>1}=1−P{Z≤1}=1−Φ(1)。
已知随机变量X服从正态分布N(2,4)，其中均值μ=2，方差σ²=4，所以标准差σ=$\sqrt{4}$=2。
步骤 2：将X转化为标准正态变量Z
由于X服从N(2,4)，我们可以将X转化为标准正态变量Z，即 $z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}=\dfrac{X-2}{2}$。
步骤 3：计算X=4对应的Z值
将X=4代入上述公式，得到 $z=\dfrac{4-2}{2}=1$。
步骤 4：将P{X>4}转化为标准正态分布的概率
P{X>4}可以转化为P{Z>1}。由于Z服从标准正态分布N(0,1)，其分布函数为Φ(x)，所以 P{Z>1}=1−P{Z≤1}=1−Φ(1)。