11.随机地选取两组学生,每组80人,分别在两个实验室里测量某种化合-|||-物的pH.各人测量的结果是随机变量,它们相互独立,服从同一分布,数学期望-|||-为5,方差为0.3,以X,Y分别表示第一组和第二组所得结果的算术平均.-|||-(1)求 4.9lt Xlt 5.1 .-|||-(2)求 -0.1lt X-Ylt 0.1 .

步骤 1：计算 $\overline{X}$ 和 $\overline{Y}$ 的期望和方差
根据题设，每组80人，测量结果相互独立，服从同一分布，数学期望为5，方差为0.3。因此，第一组和第二组所得结果的算术平均 $\overline{X}$ 和 $\overline{Y}$ 的期望和方差分别为：
$$E(\overline{X}) = E(\overline{Y}) = 5$$
$$D(\overline{X}) = D(\overline{Y}) = \frac{0.3}{80}$$

步骤 2：计算 $P\{ 4.9\lt \overline{X}\lt 5.1\} $
由中心极限定理知 $\overline{X}$ 近似服从正态分布 $N(5, 0.3/80)$，因此：
$$P\{ 4.9\lt \overline{X}\lt 5.1\} = P\{ \frac{4.9-5}{\sqrt{0.3/80}}\lt \frac{\overline{X}-5}{\sqrt{0.3/80}}\lt \frac{5.1-5}{\sqrt{0.3/80}}\}$$
$$\approx \Phi(\frac{5.1-5}{\sqrt{0.3/80}}) - \Phi(\frac{4.9-5}{\sqrt{0.3/80}})$$
$$= 2\Phi(1.63) - 1$$
$$= 2\times 0.9484 - 1$$
$$= 0.8968$$

步骤 3：计算 $P\{ -0.1\lt \overline{X}-\overline{Y}\lt 0.1\} $
由中心极限定理知 $\overline{X}-\overline{Y}$ 近似服从正态分布 $N(0, 0.3/40)$，因此：
$$P\{ -0.1\lt \overline{X}-\overline{Y}\lt 0.1\} = P\{ \frac{-0.1-0}{\sqrt{0.3/40}}\lt \frac{(\overline{X}-\overline{Y})-0}{\sqrt{0.3/40}}\lt \frac{0.1-0}{\sqrt{0.3/40}}\}$$
$$\approx \Phi(\frac{0.1-0}{\sqrt{0.3/40}}) - \Phi(\frac{-0.1-0}{\sqrt{0.3/40}})$$
$$= 2\Phi(1.15) - 1$$
$$= 2\times 0.8749 - 1$$
$$= 0.7498$$