题目
12 设总体X的概率分布为}X&1&2&3p&theta^2&2theta(1-theta)&(1-theta)^2，其中theta(0<theta<1)是未知参数，利用总体X的如下样本值1，3，2，3，1，2，求参数theta的矩估计值和最大似然估计值。
12 设总体X的概率分布为
$\begin{cases}X&1&2&3\\p&\theta^{2}&2\theta(1-\theta)&(1-\theta)^{2}\end{cases}$，其中$\theta(0<\theta<1)$是未知参数，利用总体X的如下样本值1，3，2，3，1，2，求参数$\theta$的矩估计值和最大似然估计值。
题目解答
答案
为了找到参数$\theta$的矩估计值和最大似然估计值，我们将按照以下步骤进行：
### 矩估计
1. **计算样本均值**：
样本值为1，3，2，3，1，2。样本均值$\bar{X}$为：
\[
\bar{X} = \frac{1+3+2+3+1+2}{6} = \frac{12}{6} = 2
\]
2. **找到总体均值**：
总体均值$E(X)$为：
\[
E(X) = 1 \cdot \theta^2 + 2 \cdot 2\theta(1-\theta) + 3 \cdot (1-\theta)^2
\]
简化$E(X)$：
\[
E(X) = \theta^2 + 4\theta - 4\theta^2 + 3 - 6\theta + 3\theta^2 = 3 - 2\theta
\]
3. **将总体均值设为等于样本均值**：
\[
3 - 2\theta = 2
\]
解$\theta$：
\[
1 = 2\theta \implies \theta = \frac{1}{2}
\]
因此，$\theta$的矩估计值为：
\[
\boxed{\frac{1}{2}}
\]
### 最大似然估计
1. **写出似然函数**：
样本值为1，3，2，3，1，2。似然函数$L(\theta)$为：
\[
L(\theta) = \theta^2 \cdot (1-\theta)^2 \cdot 2\theta(1-\theta) \cdot (1-\theta)^2 \cdot \theta^2 \cdot 2\theta(1-\theta) = 4\theta^8 (1-\theta)^6
\]
2. **取似然函数的对数**：
\[
\ell(\theta) = \ln L(\theta) = \ln(4) + 8\ln(\theta) + 6\ln(1-\theta)
\]
3. **对对数似然函数求导并设为零**：
\[
\frac{d\ell(\theta)}{d\theta} = \frac{8}{\theta} - \frac{6}{1-\theta} = 0
\]
解$\theta$：
\[
\frac{8}{\theta} = \frac{6}{1-\theta} \implies 8(1-\theta) = 6\theta \implies 8 - 8\theta = 6\theta \implies 8 = 14\theta \implies \theta = \frac{4}{7}
\]
因此，$\theta$的最大似然估计值为：
\[
\boxed{\frac{4}{7}}
\]