题目
将一温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内，调节器整定在d℃，液体的温度X（以℃计）是一个随机变量，且X～N（d，0.52）．（1）若d=90℃，求X小于89℃的概率．（2）若要求保持液体的温度至少为80℃的概率不低于0.99，问d至少为多少？
将一温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内，调节器整定在d℃，液体的温度X（以℃计）是一个随机变量，且X～N（d，0.52）．
（1）若d=90℃，求X小于89℃的概率．
（2）若要求保持液体的温度至少为80℃的概率不低于0.99，问d至少为多少？
（1）若d=90℃，求X小于89℃的概率．
（2）若要求保持液体的温度至少为80℃的概率不低于0.99，问d至少为多少？
题目解答
答案
解：（1）P（ξ＜89）=F（89）=Φ（$\frac{89-90}{0.5}$）
=Φ（-2）=1-Φ（2）=1-0.9772=0.0228．
（2）由已知d满足0.99≤P（ξ≥80），
即1-P（ξ＜80）≥1-0.01，∴P（ξ＜80）≤0.01．
∴Φ（$\frac{80-d}{0.5}$）≤0.01=Φ（-2.327）．
∴$\frac{80-d}{0.5}$≤-2.327．
∴d≥81.1635．
故d至少为81.1635．
=Φ（-2）=1-Φ（2）=1-0.9772=0.0228．
（2）由已知d满足0.99≤P（ξ≥80），
即1-P（ξ＜80）≥1-0.01，∴P（ξ＜80）≤0.01．
∴Φ（$\frac{80-d}{0.5}$）≤0.01=Φ（-2.327）．
∴$\frac{80-d}{0.5}$≤-2.327．
∴d≥81.1635．
故d至少为81.1635．
解析
步骤 1：计算X小于89℃的概率
根据题目，X～N（d，0.5^{2}），其中d=90℃。因此，X～N（90，0.5^{2}）。我们需要计算P（X<89）。
步骤 2：标准化
将X标准化为标准正态分布，即Z=(X-d)/σ，其中σ=0.5。因此，Z=(X-90)/0.5。我们需要计算P（Z<（89-90）/0.5）=P（Z<-2）。
步骤 3：查标准正态分布表
查标准正态分布表，得到P（Z<-2）=1-Φ（2）=1-0.9772=0.0228。
步骤 4：计算d的最小值
根据题目，要求P（X≥80）≥0.99。即1-P（X<80）≥0.99，因此P（X<80）≤0.01。将X标准化为Z=(X-d)/0.5，得到P（Z<（80-d）/0.5）≤0.01。查标准正态分布表，得到（80-d）/0.5≤-2.327。解得d≥81.1635。
根据题目，X～N（d，0.5^{2}），其中d=90℃。因此，X～N（90，0.5^{2}）。我们需要计算P（X<89）。
步骤 2：标准化
将X标准化为标准正态分布，即Z=(X-d)/σ，其中σ=0.5。因此，Z=(X-90)/0.5。我们需要计算P（Z<（89-90）/0.5）=P（Z<-2）。
步骤 3：查标准正态分布表
查标准正态分布表，得到P（Z<-2）=1-Φ（2）=1-0.9772=0.0228。
步骤 4：计算d的最小值
根据题目，要求P（X≥80）≥0.99。即1-P（X<80）≥0.99，因此P（X<80）≤0.01。将X标准化为Z=(X-d)/0.5，得到P（Z<（80-d）/0.5）≤0.01。查标准正态分布表，得到（80-d）/0.5≤-2.327。解得d≥81.1635。