(2020数Ⅲ真题)1.以下区间是函数y=sinx的单调递增区间的是（）A. [0,(pi)/(2)]B. [0,π]C. [(pi)/(2),π]D. [pi,(3pi)/(2)]

本题考查正弦函数的单调性，解题思路是根据正弦函数的导数与单调性的关系，先求出函数$y = \sin x$的导数，再根据导数大于零的区间为单调递增区间来判断各选项。

步骤一：求函数$y = \sin x$的导数

根据求导公式$(\sin x)^\prime=\cos x$，可得$y^\prime = (\sin x)^\prime = \cos x$。

步骤二：确定函数$y = \sin x$的单调递增区间

因为函数的导数大于零的区间为函数的单调递增区间，所以令$y^\prime=\cos x>0$。
根据余弦函数的图象性质，可知$2k\pi - \frac{\pi}{2} < x < 2k\pi + \frac{\pi}{2},k\in Z$时，$\cos x>0$，即函数$y = \sin x$的单调递增区间为$(2k\pi - \frac{\pi}{2}, 2k\pi + \frac{\pi}{2}),k\in Z$。

步骤三：逐一分析选项

• 选项A：$[0,\frac{\pi}{2}]$
  当$k = 0$时，单调递增区间为$(2\times0\times\pi - \frac{\pi}{2}, 2\times0\times\pi + \frac{\pi}{2})$，即$(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$，$[0,\frac{\pi}{2}]$是$(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$的子区间，所以$[0,\frac{\pi}{2}]$是函数$y = \sin x$的单调递增区间，该选项正确。
• 选项B：$[0,\pi]$
  $[0,\pi]$并不完全在$(2k\pi - \frac{\pi}{2}, 2k\pi + \frac{\pi}{2}),k\in Z$内，例如当$x\in[\frac{\pi}{2},\pi]$时，$\cos x\leqslant0$，函数$y = \sin x$单调递减，所以$[0,\pi]$不是函数$y = \sin x$的单调递增区间，该选项错误。
• 选项C：$[\frac{\pi}{2},\pi]$
  当$x\in[\frac{\pi}{2},\pi]$时，$\cos x\leqslant0$，函数$y = \sin x$单调递减，所以$[\frac{\pi}{2},\pi]$不是函数$y = \sin x$的单调递增区间，该选项错误。
• 选项D：$[\pi,\frac{3\pi}{2}]$
  当$x\in[\pi,\frac{3\pi}{2}]$时，$\cos x<0$，函数$y = \sin x$单调递减，所以$[\pi,\frac{3\pi}{2}]$不是函数$y = \sin x$的单调递增区间，该选项错误。