题目
6-40 一个空气平板电容器,极板面积为S,极板间距为d,充电至带电Q后与电源断-|||-()开,然后用外力缓缓地将两极板间距拉开到2d.求:(1)电容器能量的改变;(2)此过程中外-|||-力所做的功,并讨论此过程中的功能转化关系.
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算初始电容器能量
电容器的初始能量 $U_{1}$ 可以通过公式 $U_{1} = \frac{1}{2} QV_{1}$ 计算，其中 $V_{1}$ 是初始电压。由于电容器与电源断开，电荷 $Q$ 保持不变，初始电压 $V_{1}$ 可以通过公式 $V_{1} = \frac{Q}{C_{1}}$ 计算，其中 $C_{1}$ 是初始电容。初始电容 $C_{1}$ 可以通过公式 $C_{1} = \frac{{\varepsilon }_{0}S}{d}$ 计算，其中 ${\varepsilon }_{0}$ 是真空介电常数，$S$ 是极板面积，$d$ 是极板间距。因此，初始电容器能量 $U_{1}$ 可以通过公式 $U_{1} = \frac{1}{2} Q \frac{Q}{C_{1}} = \frac{1}{2} Q \frac{Qd}{{\varepsilon }_{0}S} = \frac{{Q}^{2}d}{2{\varepsilon }_{0}S}$ 计算。
步骤 2：计算最终电容器能量
电容器的最终能量 $U_{2}$ 可以通过公式 $U_{2} = \frac{1}{2} QV_{2}$ 计算，其中 $V_{2}$ 是最终电压。由于电容器与电源断开，电荷 $Q$ 保持不变，最终电压 $V_{2}$ 可以通过公式 $V_{2} = \frac{Q}{C_{2}}$ 计算，其中 $C_{2}$ 是最终电容。最终电容 $C_{2}$ 可以通过公式 $C_{2} = \frac{{\varepsilon }_{0}S}{2d}$ 计算，其中 ${\varepsilon }_{0}$ 是真空介电常数，$S$ 是极板面积，$2d$ 是极板间距。因此，最终电容器能量 $U_{2}$ 可以通过公式 $U_{2} = \frac{1}{2} Q \frac{Q}{C_{2}} = \frac{1}{2} Q \frac{Q2d}{{\varepsilon }_{0}S} = \frac{{Q}^{2}2d}{2{\varepsilon }_{0}S} = \frac{{Q}^{2}d}{{\varepsilon }_{0}S}$ 计算。
步骤 3：计算电容器能量的改变
电容器能量的改变 $\Delta U$ 可以通过公式 $\Delta U = U_{2} - U_{1}$ 计算。将步骤 1 和步骤 2 中计算的 $U_{1}$ 和 $U_{2}$ 代入公式，得到 $\Delta U = \frac{{Q}^{2}d}{{\varepsilon }_{0}S} - \frac{{Q}^{2}d}{2{\varepsilon }_{0}S} = \frac{{Q}^{2}d}{2{\varepsilon }_{0}S}$。
步骤 4：计算外力所做的功
外力所做的功 $W$ 等于电容器能量的改变 $\Delta U$，即 $W = \Delta U = \frac{{Q}^{2}d}{2{\varepsilon }_{0}S}$。
步骤 5：讨论功能转化关系
在将两极板间距拉开的过程中，外力做功，电容器能量增加。外力所做的功转化为电容器的电场能。
电容器的初始能量 $U_{1}$ 可以通过公式 $U_{1} = \frac{1}{2} QV_{1}$ 计算，其中 $V_{1}$ 是初始电压。由于电容器与电源断开，电荷 $Q$ 保持不变，初始电压 $V_{1}$ 可以通过公式 $V_{1} = \frac{Q}{C_{1}}$ 计算，其中 $C_{1}$ 是初始电容。初始电容 $C_{1}$ 可以通过公式 $C_{1} = \frac{{\varepsilon }_{0}S}{d}$ 计算，其中 ${\varepsilon }_{0}$ 是真空介电常数，$S$ 是极板面积，$d$ 是极板间距。因此，初始电容器能量 $U_{1}$ 可以通过公式 $U_{1} = \frac{1}{2} Q \frac{Q}{C_{1}} = \frac{1}{2} Q \frac{Qd}{{\varepsilon }_{0}S} = \frac{{Q}^{2}d}{2{\varepsilon }_{0}S}$ 计算。
步骤 2：计算最终电容器能量
电容器的最终能量 $U_{2}$ 可以通过公式 $U_{2} = \frac{1}{2} QV_{2}$ 计算，其中 $V_{2}$ 是最终电压。由于电容器与电源断开，电荷 $Q$ 保持不变，最终电压 $V_{2}$ 可以通过公式 $V_{2} = \frac{Q}{C_{2}}$ 计算，其中 $C_{2}$ 是最终电容。最终电容 $C_{2}$ 可以通过公式 $C_{2} = \frac{{\varepsilon }_{0}S}{2d}$ 计算，其中 ${\varepsilon }_{0}$ 是真空介电常数，$S$ 是极板面积，$2d$ 是极板间距。因此，最终电容器能量 $U_{2}$ 可以通过公式 $U_{2} = \frac{1}{2} Q \frac{Q}{C_{2}} = \frac{1}{2} Q \frac{Q2d}{{\varepsilon }_{0}S} = \frac{{Q}^{2}2d}{2{\varepsilon }_{0}S} = \frac{{Q}^{2}d}{{\varepsilon }_{0}S}$ 计算。
步骤 3：计算电容器能量的改变
电容器能量的改变 $\Delta U$ 可以通过公式 $\Delta U = U_{2} - U_{1}$ 计算。将步骤 1 和步骤 2 中计算的 $U_{1}$ 和 $U_{2}$ 代入公式，得到 $\Delta U = \frac{{Q}^{2}d}{{\varepsilon }_{0}S} - \frac{{Q}^{2}d}{2{\varepsilon }_{0}S} = \frac{{Q}^{2}d}{2{\varepsilon }_{0}S}$。
步骤 4：计算外力所做的功
外力所做的功 $W$ 等于电容器能量的改变 $\Delta U$，即 $W = \Delta U = \frac{{Q}^{2}d}{2{\varepsilon }_{0}S}$。
步骤 5：讨论功能转化关系
在将两极板间距拉开的过程中，外力做功，电容器能量增加。外力所做的功转化为电容器的电场能。