8.[判断题]•标准正态分布Phi(x)=int_(-infty)^xvarphi(t)dt=(1)/(sqrt(2pi))int_(-infty)^xe^-(t^(2)/(2))dt,-inftyA. 对B. 错

考查要点：本题主要考查标准正态分布函数 $\Phi(x)$ 的对称性及其性质的应用。
解题核心思路：利用标准正态分布的对称性，通过变量替换证明 $\Phi(-x) = 1 - \Phi(x)$，并代入 $x=0$ 验证 $\Phi(0)=0.5$。
关键点：

1. 标准正态分布的对称性：密度函数 $\varphi(t)$ 是偶函数，即 $\varphi(-t) = \varphi(t)$。
2. 积分变换技巧：通过变量替换 $u = -t$，将积分区间转换为与 $\Phi(x)$ 相关联的形式。

步骤1：证明 $\Phi(-x) = 1 - \Phi(x)$

根据标准正态分布函数的定义：
$\Phi(-x) = \int_{-\infty}^{-x} \varphi(t) \, dt$
令 $u = -t$，则 $du = -dt$，积分上下限变为：

• 当 $t \to -\infty$ 时，$u \to +\infty$；
• 当 $t = -x$ 时，$u = x$。

代入变量替换后：
$\Phi(-x) = \int_{+\infty}^{x} \varphi(-u) (-du) = \int_{x}^{+\infty} \varphi(u) \, du$
由于 $\int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(u) \, du = 1$，可得：
$\Phi(-x) = 1 - \int_{-\infty}^{x} \varphi(u) \, du = 1 - \Phi(x)$
因此，$\Phi(-x) = 1 - \Phi(x)$ 成立。

步骤2：验证 $\Phi(0) = 0.5$

将 $x = 0$ 代入 $\Phi(-x) = 1 - \Phi(x)$：
$\Phi(0) = 1 - \Phi(0)$
整理得：
$2\Phi(0) = 1 \quad \Rightarrow \quad \Phi(0) = 0.5$
因此，$\Phi(0) = 0.5$ 成立。